功能梯度材料Timoshenko型剪切梁的自由振動分析

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(1.中北大學 理學院，山西 太原 030051； 2.同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

1 引 言

功能梯度材料作為一種材料設計的概念是日本材料學家新野正之(Mayuhi NINO)、平井敏雄(Toshio HIRA)和渡邊龍三(Ryuzo WATANBE)等在1987年首先提出來的[1]，主要思想是在材料的制備過程中，連續地控制陶瓷和金屬的體積含量分布，使宏觀材料特性在空間位置上按特定梯度函數連續變化，材料內部不存在明顯的性能分界面，以達到優化在高溫使用環境下材料內部熱應力分布及最大限度合理使用材料性能的目的。隨著功能梯度材料的研究和開發，其結構已經廣泛應用于航空航天、機械工程、核能工程、土木工程等諸多學科及工程領域。

梁、板、殼是功能梯度材料構成結構的幾種常見形式，國內外許多學者已逐漸將其力學性能作為一個重要研究方向[2]。Zhong 和Yu[3]采用應力函數法獲得了功能梯度懸臂梁彎曲問題解析解。Ding等[4]分析了不同邊界條件下各向異性功能梯度梁彎曲問題的彈性解。Nie等[5]采用位移函數法獲得了具有任意梯度材料特性的功能梯度梁的解析解。Li等[6]根據歐拉-伯努利梁與Timoshenko梁控制方程之間數學相似性和荷載等效性，推導了功能梯度材料Timoshenko梁彎曲問題的彈性解。Tang等[7]假設材料彈性常數和密度沿厚度方向呈指數梯度變化，研究了功能梯度Timoshenko梁自由振動問題。陳熹，薛春霞[8]分析了電壓激勵下四邊簡支壓電層合板的振動問題。熊玲華等[9]利用攝動微分求積法研究復合材料層合板非線性振動。張國兵等[10]對熱壓燒結SiC/C功能梯度材料微觀結構及熱震性能進行了研究。吳曉和羅佑新[11]采用Timoshenko梁修正理論研究了功能梯度材料梁的動力響應問題。Adamek等[12]假設材料彈性常數和密度沿著厚度方向變化，獲得了簡支功能梯度材料梁動態響應的解析解。但關于彈性模量按照任意梯度函數分布的各向異性功能梯度Timoshenko型剪切梁自由振動的研究還未見報道。

本文推導出兩端簡支的功能梯度材料Timoshenko型剪切梁自由振動的特征方程，假設材料常數沿梁厚度方向呈同一函數梯度變化，求得梁自由振動的固有頻率。給出算例，討論了不同的梯度變化對材料結構動力特性的影響。

2 問題描述與基本方程

考慮如圖1所示的功能梯度梁，邊界條件為兩端簡支，截面長度為L，寬度為b，高度為h。

圖1 功能梯度Timoshenko型剪切梁示意圖Fig.1 Schematic of functionally graded Timoshenko shear beam

由Timoshenko梁理論[13]，其位移方程為：

(1)

式中：U、V、W分別是x軸、y軸和z軸方向的位移函數；φ(x)和ψ(x)分別是考慮橫截面不垂直于軸線后，繞z軸和y軸所轉動的角度；u、v、w分別是軸線上某一點的位移。

幾何方程為：

(2)

這里近似地忽略應力分量σy、σz和τyz的影響，而只考慮σx、τzx和τxy，于是廣義虎克定律可寫成：

(3)

式中，aij為彈性材料的柔度系數。由于功能梯度材料的材料常數在梁厚度方向上連續變化，因此柔度系數是坐標y的連續函數，假設上述材料常數沿梁厚度方向按同一梯度函數變化：

(4)

將式(2)代入式(3)中，然后對等式兩邊在功能梯度梁橫截面區域上進行曲面雙重積分；分別在等式兩邊同時乘以y，然后再進行曲面雙重積分，則得到下列方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

由(5)～(7)式可以得到：

(9)

(10)

(11)

(12)

假定剪應力τxz和τxy的分布是關于y、z軸對稱的，則由(8)、(9)式可得：

(13)

梁運動的基本方程：

(14)

(15)

將式(12)、(13)代入基本方程式(14)、(15)中，可得功能梯度材料Timoshenko型剪切梁彎曲微分方程組式(16)、(17)：

(16)

(17)

式中的系數c綜合表示轉動慣量效應。如果忽略轉動慣量可取c=0，而考慮轉動慣量則取c=1。

3 梁的自由振動

令：

v(x,t)=Y(ξ)eiwt

(18)

φ(x,t)=φ(ξ)eiwt

(19)

式中：ξ為梁的無量綱坐標，即

(20)

將式(18)、(19)代入式(16)、(17)中，在外荷載qy=0的情況下，并取c=1，消去eiwt，可以得到：

(21)

(22)

式中：

(23)

(24)

(25)

Y(ξ)=C1Ch(bαξ)+C2Sh(bαξ)+

C3Cos(bβξ)+C4Sin(bβξ)

(26)

(27)

式中，

(28)

Y(ξ)=C1Cos(bα′ξ)+C2Sin(bα′ξ)+

C3Cos(bβ′ξ)+C4Sin(bβ′ξ)

(29)

(30)

式中：

(31)

對于兩端簡支的邊界條件：

當x=0,L時：

v=0

(32)

當x=0,L時：

(33)

求得特征方程為：

Sin(bβ)=0

(34)

4 算例分析

功能梯度簡支梁(l=1m，h=0.2m，b=1m)的自由振動，假定梯度變化函數為：

F(y)=eky/h

(35)

其中：k代表材料的梯度變化指數，在這里分別取k為-3、-1、0、1、3。在y=0處的材料常數為石墨/環氧(T)型材料的相應數據為[14]：

假定功能梯度材料的密度是常數。

圖2給出了梁前五階固有頻率隨梯度變化指數k的變化情況，從中可以看到，梁的各階自振頻率是關于k=0時對稱的，即當k=±1,k=±3時，頻率分別互相相等，則梯度函數按照指數形式變化時，可只考慮梯度指標k的絕對值的大小，所得到的梁的動力特性是相同的。橫向比較各階頻率在不同k值時的變化趨勢，隨著k絕對值的增大，各階頻率有加速增高的現象出現，說明功能梯度梁的動力特性對高梯度變化指數更為敏感，在較高梯度變化指數分布下，梁有加速變“剛”的趨勢。圖3～圖7為k=-1時梁的前五階模態圖，圖中包含了梁振動時所有的廣義位移分量。

圖2 梁自振頻率隨梯度變化指數k的變化Fig.2 Variations in the natural frequencies of the beam with the gradient index k

圖3 第一階模態圖Fig.3 First order mode of the beam

圖4 第二階模態圖Fig.4 Second order mode of the beam

圖5 第三階模態圖Fig.5 Third order mode of the beam

圖6 第四階模態圖Fig.6 Fourth order mode of the beam

圖7 第五階模態圖Fig.7 Fifth order mode of the beam

綜上可看出，不同的梯度變化可大大改變功能梯度材料結構的動力特性，因此可根據不同的荷載及環境使用情況，精心設計功能梯度函數變化形式，從而最大限度、最合理地利用材料性能，體現了功能梯度材料相比均質材料的卓越性能優勢。

5 結 論

本文基于一階剪切理論，假設彈性模量沿梁厚度方向按同一函數分布，給出各向異性功能梯度Timoshenko型剪切梁的自由振動特征方程，得到了兩端簡支Timoshenko梁自由振動的固有頻率，所得到的解對于任意梯度函數都成立。通過算例分析，給出彈性模量按指數函數梯度變化Timoshenko梁的自由振動頻率和模態圖，結果表明，材料的梯度指標對于梁的動力響應有很大的影響，對于實際工程應用具有一定的指導意義。

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