以應(yīng)用為導(dǎo)向的研究生矩陣論公共課程教學(xué)改革的探索

謝挺 鐘堅(jiān)敏

摘要：作為一門重要的研究生基礎(chǔ)課程，矩陣論對(duì)培養(yǎng)研究生的數(shù)學(xué)應(yīng)用和創(chuàng)新能力具有重要作用。論文以“應(yīng)用為導(dǎo)向”作為矩陣論課程改革的突破口，從教材及教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程及形式、考核體系三個(gè)方面進(jìn)行探討，并提出了具體的改革措施。

關(guān)鍵詞：矩陣論；研究生；教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）09-0125-02

矩陣是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)基本概念，是數(shù)學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用中的一類重要工具。矩陣?yán)碚摫旧淼难芯渴菢O具創(chuàng)造性的領(lǐng)域；同時(shí)矩陣?yán)碚撚謽O大地推動(dòng)和豐富了其他眾多科學(xué)的發(fā)展，許多新的理論、新的方法、新的技術(shù)的誕生、發(fā)展和應(yīng)用就是矩陣?yán)碚摰膶?shí)踐和推廣[1]。特別是隨著信息科學(xué)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的飛速發(fā)展，矩陣作為一種通用的信息表示形式，已經(jīng)成為信息時(shí)代的重要工具。矩陣論課程在國(guó)內(nèi)研究生中大規(guī)模開設(shè)始于20世紀(jì)80年代，并逐漸成為我國(guó)高校研究生的一門重要公共基礎(chǔ)課。矩陣論不僅是后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)，也是對(duì)研究生進(jìn)行思維模式的培養(yǎng)手段。為不斷提高教學(xué)效果和人才培養(yǎng)質(zhì)量，適應(yīng)信息和大數(shù)據(jù)時(shí)代對(duì)人才的新要求，根據(jù)當(dāng)前的培養(yǎng)要求、學(xué)生水平和教學(xué)特點(diǎn)，以應(yīng)用為導(dǎo)向，從教材及教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程及形式、考核體系三個(gè)方面進(jìn)行課程改革。

一、面向應(yīng)用的教材及教學(xué)內(nèi)容的遴選

由于矩陣?yán)碚撌菙?shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)重要內(nèi)容，其相關(guān)理論的產(chǎn)生、發(fā)展和早期的應(yīng)用主要來源于數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)科。正是這樣的歷史原因，導(dǎo)致目前主要的矩陣論教材基本上都是常規(guī)數(shù)學(xué)教材的編寫或是縮寫。按照數(shù)學(xué)的思路來編寫矩陣論教材，將不可避免地強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格的理論證明、抽象的思維能力以及復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧，而忽視實(shí)際的應(yīng)用知識(shí)介紹[2]。另一方面，鑒于師資力量的水平，目前大多數(shù)高校的研究生矩陣論課程基本上是由數(shù)學(xué)專業(yè)的教師擔(dān)任，數(shù)學(xué)專業(yè)的教師在教學(xué)內(nèi)容的選取上易偏向于理論和推導(dǎo)，從而導(dǎo)致課程的理論化、公式化，使得學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣，極大地影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和人才培養(yǎng)質(zhì)量。

在面對(duì)目前存在的教材選擇及教學(xué)內(nèi)容選取兩方面的問題時(shí)，可以根據(jù)各個(gè)學(xué)校及各類層次的研究生培養(yǎng)實(shí)際情況嘗試不同的應(yīng)對(duì)策略。第一，當(dāng)學(xué)生規(guī)模達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，針對(duì)不同的學(xué)科類別進(jìn)行開班，不同學(xué)科的學(xué)生可以嘗試不同的教材，特別是一些“新理論、新方法、新技術(shù)”[3]。不同學(xué)科背景的教材能夠很好地體現(xiàn)矩陣論在該學(xué)科中的具體應(yīng)用形式，能讓學(xué)生有針對(duì)性地做好知識(shí)儲(chǔ)備。如：有的偏重于計(jì)算，有的偏重于理論，有的偏重于應(yīng)用等等。第二，在編寫教材時(shí)，為了擴(kuò)大受眾面，往往將內(nèi)容編寫得多而全。目前大部分教材基本上都包含了線性空間與變化、矩陣分解、矩陣分析、特征值的估計(jì)、特殊矩陣、矩陣的廣義逆等內(nèi)容。可以根據(jù)工科中使用矩陣?yán)碚摰闹饕矫婧桶l(fā)展方向，在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)將教學(xué)內(nèi)容做適當(dāng)?shù)倪x取，明確主次，提高教學(xué)的效果和針對(duì)性。一般來說主要學(xué)習(xí)范數(shù)、矩陣分解、廣義逆、矩陣的積分與微分、特征值的表示與估計(jì)、矩陣微分方程。同時(shí)，可以考慮結(jié)合研究前沿增加非負(fù)矩陣分解、Matlab軟件等內(nèi)容。第三，在教材選定、教學(xué)內(nèi)容確定的情況下，任課教師在教學(xué)安排時(shí)對(duì)相關(guān)內(nèi)容的處理也非常關(guān)鍵。既要考慮到矩陣論課程的整體性，也要突出其在工程應(yīng)用中主要涉及的內(nèi)容；既要考慮到其理論推導(dǎo)的邏輯性，也要兼顧其學(xué)習(xí)主體的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。課程中教與學(xué)難度較大的內(nèi)容，如Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)等可作適當(dāng)處理，在整體上講清思路及應(yīng)用方法，在具體推導(dǎo)的細(xì)節(jié)上省略。

二、面向應(yīng)用的教學(xué)過程和教學(xué)組織形式

在矩陣論課程的教學(xué)過程中，由于研究生人數(shù)的不斷增加，每個(gè)教學(xué)班級(jí)的人數(shù)顯著增加，使得教學(xué)過程中出現(xiàn)了類似于本科的大班公共課程教學(xué)中出現(xiàn)的一些問題，即“本科化”：采用傳統(tǒng)的教師講、學(xué)生聽的傳授式教學(xué)模式；缺乏培養(yǎng)學(xué)生研究能力的實(shí)踐環(huán)節(jié)；教學(xué)信息量小；教學(xué)過程中學(xué)科交叉少；缺乏發(fā)現(xiàn)問題的創(chuàng)新精神[4]。對(duì)于經(jīng)過大學(xué)培養(yǎng)階段的研究生，一般都具有較好的自學(xué)和思考能力，對(duì)于他們來說，記住多少數(shù)學(xué)知識(shí)不應(yīng)該是主要的目標(biāo)。在教學(xué)過程中應(yīng)主要培養(yǎng)思維方式和應(yīng)用能力，運(yùn)用矩陣視角來觀察問題、分析問題、解決問題，從而達(dá)到掌握矩陣方法，提高解決實(shí)際問題的能力。

良好的教學(xué)過程和組織形式能提高教學(xué)效果，在目前大班教學(xué)的現(xiàn)狀下，可以從強(qiáng)化應(yīng)用思想、豐富教學(xué)手段、增加實(shí)驗(yàn)課程、推廣問題驅(qū)動(dòng)、加強(qiáng)科研引導(dǎo)等方面開展改革嘗試。第一，矩陣?yán)碚撾m然應(yīng)用廣泛，但是其基礎(chǔ)理論比較抽象。為了教學(xué)中深入淺出、通俗易懂，必須和相關(guān)的背景相結(jié)合，以問題為導(dǎo)向來考慮相關(guān)概念的講授和理解。比如：在非負(fù)矩陣分解中，矩陣可視為一組基的線性組合，結(jié)合壓縮感知背景就很易理解。第二，在豐富教學(xué)手段方面，采用“黑板+課件”的講課形式，定義、定理及相關(guān)結(jié)論全部在課件上顯示，理論推導(dǎo)過程在黑板上進(jìn)行同步講解。同時(shí)，可適當(dāng)引入數(shù)值實(shí)驗(yàn)課程，以Matlab軟件為平臺(tái)，將模擬實(shí)驗(yàn)和理論課程相結(jié)合，不斷提高學(xué)生的應(yīng)用能力。第三，大力推廣問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式。在學(xué)習(xí)矩陣?yán)碚摃r(shí)，要首先使學(xué)生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的某個(gè)工程應(yīng)用背景有所了解，在相關(guān)問題的驅(qū)動(dòng)下開始課程的學(xué)習(xí)。例如，在線性定常控制系統(tǒng)中系統(tǒng)的極點(diǎn)是一個(gè)重要指標(biāo)，而其剛好是矩陣的特征值，給出了特征值或其范圍，就確定了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性[5]。其次，介紹新知識(shí)、跟蹤新技術(shù)也是一種重要的問題驅(qū)動(dòng)模式，對(duì)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和聯(lián)系問題的能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)具有重要作用。第四，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生在交叉學(xué)科間開展探索研究能力的主要手段[5]。數(shù)學(xué)建模的過程就是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的過程。在稀疏優(yōu)化模型、系統(tǒng)控制模型、數(shù)據(jù)預(yù)處理模型等常見的數(shù)學(xué)建模中都利用到矩陣相關(guān)理論。如：曲線擬合問題中給出了一組數(shù)據(jù)要求找出其規(guī)律，該問題最后可通過最小二乘法轉(zhuǎn)化為解線性方程組。第五，在教學(xué)過程中加強(qiáng)對(duì)科研思想的引導(dǎo)，可從兩個(gè)方面考慮：一是要求學(xué)生閱讀一定量的涉及學(xué)科研究前沿并與課程相關(guān)的中英文論文，并把文獻(xiàn)的研討作為課程的重要內(nèi)容；二是可為學(xué)生提供難易適度、既有挑戰(zhàn)性又有操作性的研究主題，讓學(xué)生通過思考、討論來解決問題，培養(yǎng)其科研思維能力。

三、面向應(yīng)用的課程考核體系

考核對(duì)一門課程的建設(shè)具有指導(dǎo)性作用，它直接反映了一門課程的教學(xué)效果和培養(yǎng)重點(diǎn)。傳統(tǒng)的“本科式”教學(xué)模式的考核形式為“期末考試+平時(shí)成績(jī)”，這種以考核學(xué)生解題能力為主的方式基本不涉及到應(yīng)用和創(chuàng)新能力的考核。矩陣是一種重要的數(shù)學(xué)工具，其培養(yǎng)目標(biāo)主要是要求學(xué)生能夠熟練地利用這種工具來分析和解決問題。因此矩陣論課程的考核目標(biāo)應(yīng)是在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上具有靈活應(yīng)用的綜合能力。

為加強(qiáng)過程考核，提高學(xué)生的應(yīng)用能力，可將課程考核分為四個(gè)部分：內(nèi)容考核、綜述考核、計(jì)算考核、應(yīng)用考核。第一，內(nèi)容考核。主要是知識(shí)點(diǎn)的考核，主要以傳統(tǒng)的試卷形式開展，占總成績(jī)40%左右。第二，綜述考核。將相同專業(yè)的3-5個(gè)學(xué)生分為一組，要求在期末時(shí)提交一篇以“矩陣論在本專業(yè)中應(yīng)用”的綜述文章，占總成績(jī)的20%左右。第三，計(jì)算考核。在矩陣論學(xué)習(xí)時(shí)要求熟練掌握Matlab軟件和一些算法，課程中期可以安排一次編程作業(yè)，如矩陣分解、特征值等，占總成績(jī)的10%。第四，應(yīng)用考核。將學(xué)生按照專業(yè)3-5人分為一組，解決一個(gè)難度適中的實(shí)際問題，從問題的提出、分析、建模、計(jì)算等流程來進(jìn)行，最后形成一遍應(yīng)用驅(qū)動(dòng)的論文，例如對(duì)“圖像處理中的非負(fù)矩陣分解”問題來進(jìn)行簡(jiǎn)單研究。占總成績(jī)的20%。

一方面，隨著科技和經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，對(duì)矩陣論課程的教學(xué)質(zhì)量提出了更高的要求；另一方面，隨著研究生教育改革的不斷深入，對(duì)矩陣論課程的教學(xué)模式產(chǎn)生了深刻影響。在如何開展面向應(yīng)用的矩陣論課程教學(xué)改革、將數(shù)學(xué)工具與相關(guān)專業(yè)有效結(jié)合等方面，還有很多的發(fā)展空間。因此，在面向應(yīng)用的導(dǎo)向下，應(yīng)不斷開展矩陣論課程的教學(xué)研究，不斷提高創(chuàng)新型研究人才的能力和水平。

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