經(jīng)歷建模過程 積累建模經(jīng)驗

劉正娟

[摘 要]“乘法分配律”這一課是一塊難“啃”的骨頭，學(xué)生學(xué)習困難，教師也感到頭疼。通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境、經(jīng)歷推理過程、運用多元表征，可從數(shù)學(xué)建模的角度幫助學(xué)生明晰乘法分配律的核心內(nèi)容。

[關(guān)鍵詞]乘法分配律；建模；乘法的意義

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）05-0006-02

【錯誤列舉】

關(guān)于蘇教版教材四年級下冊的“乘法分配律”，學(xué)生在學(xué)習的過程中常常出現(xiàn)以下兩種錯誤。

算理理解不到位。如圖1，歸根結(jié)底，不理解算理，也就是不理解乘法的意義。

湊整思想的僵化。如圖2，學(xué)生只是注意到99接近100，沒有考慮到這個算式的特點，沒有準確分析“這個數(shù)”在算式中與其他數(shù)之間的運算關(guān)系，機械湊整，勢必會導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤。

學(xué)生出現(xiàn)上述這些錯誤的根本原因在于不理解算式的意義，只是機械模仿，不能按照算理正確地思考簡算過程。在多次思考之后，我找到了一種行之有效的方法，那就是從建模的角度出發(fā)，聚焦最樸素的算理——乘法的意義，分析學(xué)生的錯誤原因，抓住問題的本質(zhì)，根治錯誤。

【教學(xué)重構(gòu)】

片段一：數(shù)形結(jié)合，建立兩式相等關(guān)系

1.出示圖3，引導(dǎo)學(xué)生思考：怎么求這兩個圖形的面積之和呢？你能想出幾種方法？在學(xué)生得出兩種基本方法后，我寫出等式：（6+3）×4=6×4+3×4。

2.讓學(xué)生從圖4中的三個長方形中選出兩個，拼成一個大長方形。

學(xué)生通過獨立思考、小組活動后得出如圖5所示的兩個大長方形，并列出算式求出拼好之后的大長方形的面積。

3.引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么②號長方形和③號長方形不能拼成一個大長方形呢？

4.出示題目“四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領(lǐng)24根跳繩。一共領(lǐng)多少根跳繩？”在得出等式（6+4）×24=6×24+4×24后，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：這種實際問題也可以用圖6來表示，左邊的長方形表示四年級一共領(lǐng)了多少根跳繩，右邊的長方形表示五年級一共領(lǐng)了多少根跳繩，也可以合在一起看：四、五年級一共有10個班，就是10個24的和。

乘法分配律對學(xué)生來說是比較抽象的，將長方形的面積計算與乘法分配律的知識融合在一起，借助幾何直觀、數(shù)形結(jié)合，以計算長方形面積為載體建構(gòu)等式，能使學(xué)生在探究的過程中對乘法分配律中的兩道算式構(gòu)成的等式有深入的了解，從而明確探究的方向。學(xué)生在交流討論“為什么②號長方形和③號長方形不能拼成一個大長方形”的過程中，也能體會到“乘法分配律中必須有相同因數(shù)”這一重要的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

片段二：舉例驗證，明晰兩式相等的本質(zhì)屬性

在上述教學(xué)的基礎(chǔ)上，我組織學(xué)生進一步研究：①觀察這幾組等號兩邊的算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？②是不是具有這樣特征的算式都能用“=”連接？是偶然還是必然？③請在練習本上寫幾組具有這樣特征的式子；④想一想，像這樣的等式寫得完嗎？

在學(xué)生寫出大量等式的基礎(chǔ)上，我引導(dǎo)學(xué)生進行觀察和猜想，并且從正反兩個方面對得出的猜想進行驗證，抽象出結(jié)論后，再讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述其規(guī)律。在整個教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了乘法分配律的探究過程，抽象、概括的能力得到了發(fā)展。學(xué)生通過舉例驗算的方法去感知規(guī)律，在真實體驗中感受規(guī)律，用語言表述規(guī)律便水到渠成。

片段三：抽象概括，建立基本模型

師：在前面的研究中，我們已經(jīng)明晰了兩式相等的特征，你能否用自己喜歡的方式表示這個規(guī)律呢？

生1：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生2：（△+□）×○=△×○+□×○。

生3：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：其實，你們的表示方法有異曲同工之妙，都可以用圖形（圖7）表示出來。

師：既可以用（a+b）×c表示，也可以用a×c+b×c表示，就得到（a+b）×c=a×c+b×c，這是乘法分配律的直觀模型。

師：如果這樣的圖形由3個、4個或多個長方形組成，那么關(guān)系式該怎么改？圖形又該怎么畫呢？大家試一試吧！

讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示乘法分配律，其目的有三：一是檢驗學(xué)生是否已經(jīng)正確理解規(guī)律；二是讓學(xué)生再次感受和明晰乘法分配律的結(jié)構(gòu)；三是充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習的主動性。乘法分配律是一個數(shù)學(xué)模型，任何數(shù)學(xué)模型都是抽象概括的產(chǎn)物，任何一種數(shù)學(xué)模型也都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的抽象美和簡潔美。但是，數(shù)學(xué)模型抽象建構(gòu)完成后，絕不是終點，教師還要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度對數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)進行精準把握。

【案例反思】

數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與生活的橋梁，建立模型的過程就是架設(shè)這座橋梁的過程。乘法分配律雖然比較抽象，但在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用。本課的教學(xué)是通過現(xiàn)實生活情境呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在探索活動中抽象出乘法分配律的字母表達式，建構(gòu)乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，并運用這一數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題。

創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，感知模型。課程標準指出：建立模型首先要從現(xiàn)實的生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。這說明發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點。乘法分配律是一個很抽象的內(nèi)容，如果沒有具體的情境，學(xué)生就無法獲得體驗的機會。本課從現(xiàn)實中的求長方形面積、如何拼長方形、領(lǐng)跳繩的情境入手，引導(dǎo)學(xué)生感受兩種算法之間的聯(lián)系，從現(xiàn)實問題中抽象出等式，在初步感知數(shù)學(xué)模型的同時，也為后續(xù)的模型建立積累了豐富的素材。

經(jīng)歷推理過程，初現(xiàn)模型。本課中首先是在得出兩組等式后引導(dǎo)學(xué)生觀察等號兩邊的算式，并提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么？是不是所有這種算式都能組成等式？你能想辦法驗證嗎？”演繹推理的過程是從不完全歸納到完全歸納發(fā)展的過程，讓學(xué)生想辦法進行驗證就是引導(dǎo)學(xué)生從意義上來證明猜想的正確性，學(xué)生能從問題的實際意義“四、五年級一共領(lǐng)多少根跳繩？”出發(fā)，得到“一共有10個班，既是領(lǐng)10個24根”的結(jié)論；學(xué)生也會利用乘法的意義，從（6+4）個24就是“6個24”加“4個24”的層面來理解。在這樣的推理過程中，學(xué)生積累了乘法分配律的感性經(jīng)驗，初步建立了乘法分配律的模型。

運用多元表征，建立模型。模型的建立過程包括用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。因此，引導(dǎo)學(xué)生用個性化的表達方式將乘法分配律表示出來，模型才能建立起來。比如，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法表示規(guī)律，學(xué)生就能用文字、圖形、字母等方式分別表示三個數(shù)，也有學(xué)生會用語言表示。這就是學(xué)生經(jīng)歷乘法分配律模型建立的過程，在這個過程中，他們體會到了字母表達式的簡潔性，也增強了用符號表達規(guī)律的意識。

（責編 童 夏）