二次函數(shù)圖像中存在相似三角形的問題解析

山東省日照市東港實(shí)驗(yàn)學(xué)校 孫承娟

下面我們以幾道經(jīng)典例題的分析方法和解答步驟為例作以說明。

一、分類討論，體現(xiàn)“對(duì)方程與函數(shù)、分類討論思想和方法的考查”

例1 如圖所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）。

圖1

（1）求此拋物線的解析式；

（2）P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

解析：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，-2），

∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2，

（2）存在，如圖2所示，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM=4-m，

∵∠COA=∠PMA=90°，

△APM∽△ACO，

解得m1=2，m2=4（舍去）， ∴P（2，1）；

圖2

類似地可求出當(dāng)m＞4時(shí)，P（5，-2）；當(dāng)m＜1時(shí)，P（-3，-14）。

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）。

評(píng)注：求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形，再根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行分類討論，從而體現(xiàn)出“對(duì)方程與函數(shù)、分類討論思想和方法的考查”。

二、數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)“轉(zhuǎn)換”思想和意識(shí)

例2 如圖3所示，已知：拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G。

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長；

（3）在（2）的條件下，連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由。

圖3

解析：（1）∵拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4），

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，0），點(diǎn)C（0，4），

∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，

（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以 P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似。理由如下：

要使以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，只需△PFC∽△AOC即可。

分兩種情況討論：

①若△PFC∽△AOC，則PF:CF=OA:OC，且∠PFC=∠AOC=90°，即

在直角三角形CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM為直角三角形。

②若△PFC∽△COA，則PF:CF=OC:OA，且∠PFC=∠AOC=90°，即∶m=4∶3，

∵m≠0且m≠3， ∴m=1。∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF，∴CP=CM， ∴△PCM為等腰三角形。

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P，使以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AEM相似，此時(shí)m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形。

評(píng)注：本題是綜合性很強(qiáng)的題目，需要運(yùn)用“轉(zhuǎn)換”的思想。學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)“轉(zhuǎn)換”或“轉(zhuǎn)化”，有利于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。就本題而言，訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維分析解決問題，有助于將“轉(zhuǎn)換”思想內(nèi)化成學(xué)生的一種數(shù)學(xué)解題策略和意識(shí)。