MATLAB在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中的應(yīng)用

周后卿+徐幼專

摘要：《復(fù)變函數(shù)與積分變換 》是工科類學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課，既是《高等數(shù)學(xué)》的后續(xù)課程，也是學(xué)習(xí)其他專業(yè)課程的有力工具。該文探討如何應(yīng)用MATLAB輔助《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教學(xué)的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)與積分變換；MATLAB；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）04-0089-03

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中越來(lái)越普遍，利用MATLAB軟件，已成為教師的首選。MATLAB憑借強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算、大量的函數(shù)以及統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化、偏微分方程數(shù)值解等工具箱，已經(jīng)成為運(yùn)籌學(xué)、多元統(tǒng)計(jì)、時(shí)間序列分析、數(shù)字信號(hào)處理、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真、圖像處理、自動(dòng)控制理論等課程教學(xué)中的必備教學(xué)工具，深受師生的喜歡和信賴。在《復(fù)變函數(shù)與積分逆變換》課程教學(xué)中，MATLAB也大有可為，許多內(nèi)容都可以用到這個(gè)軟件。我們通過(guò)一些實(shí)例，闡述MATLAB在這門課程中的應(yīng)用。通過(guò)運(yùn)用這個(gè)軟件，達(dá)到降低內(nèi)容難度，提振學(xué)生學(xué)習(xí)的士氣，幫助學(xué)生加深、了解、掌握知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用軟件解決問(wèn)題的能力。

1 利用MATLAB作圖

我們知道，MATLAB提供了強(qiáng)大的圖形處理和編輯功能，能夠?qū)⒔?jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算和分析后的結(jié)果通過(guò)圖形的方式直觀地進(jìn)行表示。作圖的原理是先計(jì)算離散自變量上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后將這些點(diǎn)描繪出來(lái)；對(duì)于連續(xù)函數(shù)的話，則可以通過(guò)微分思想來(lái)進(jìn)行，即不斷減小離散點(diǎn)的間隔后，繪制這些數(shù)據(jù)。通過(guò)MATLAB作圖，直觀反映函數(shù)，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，學(xué)生容易接受與理解。例如，在實(shí)數(shù)域中，對(duì)于實(shí)變量函數(shù)，不妨設(shè)正弦函數(shù)，它是一個(gè)一元函數(shù)，它的圖形是一條曲線（見(jiàn)圖1）。代碼如下：

x=0：0.01：2*pi；

y=sin（x）；

plot（x，y， 'r'） 紅顏色用“r”表示。

對(duì)這個(gè)圖形，學(xué)生很熟悉。但是，在復(fù)數(shù)域中，對(duì)于復(fù)變量函數(shù)的圖像，到底是啥樣？學(xué)生不清楚；特別是說(shuō)不成立，學(xué)生更不清楚。為了形象說(shuō)明這一性質(zhì)，我們借助MATLAB，就很容易畫(huà)出它的圖形（見(jiàn)圖2）。用Z軸表示sinz的模，作出|sinz| 的圖像，其MATLAB程序如下：

x=[0：pi/5：7*pi]，

[x，y]=meshgrid（x），

z= x+i*y，

u=sin（z），

surf（x，y，abs（u））

學(xué)生通過(guò)觀看圖像，就容易區(qū)分它們之間的差異，也就能明白一定條件下了。

2 MATLAB在復(fù)變函數(shù)與積分變換計(jì)算中的應(yīng)用

MATLAB在復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)中的計(jì)算有著相似之處，不管自變量是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，都是將自變量的值直接代入函數(shù)表達(dá)式中去計(jì)算。可以利用MATLAB對(duì)一個(gè)復(fù)常數(shù)進(jìn)行基本的求模，求幅角，求實(shí)部、虛部的運(yùn)算。更進(jìn)一步地，還可以求復(fù)數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行三角運(yùn)算，舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明。

例1 求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部，虛部，共軛復(fù)數(shù)，輻角，模

，，。

解 代碼如下：

z=[（（1-i）/（1+i））.^7； i/（1-i）+（1-i）/I； i.^18]，

real（z）， % 求復(fù)數(shù)的實(shí)部

imag（z）， % 求復(fù)數(shù)的虛部

conj（z）， % 求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)

angle（z）， % 求復(fù)數(shù)的輻角

abs（z）， % 求復(fù)數(shù)的模

運(yùn)算的結(jié)果：

z =

0+1.0000i

-1.5000-0.5000i

-1.0000

ans =

0

-1.5000

-1.0000

ans =

1.0000

-0.5000

0

ans =

0-1.0000i

-1.5000+0.5000i

-1.0000

ans =

1.5708

-2.8198

3.1416

ans =

1.0000

1.5811

1.0000

用MATLAB計(jì)算優(yōu)勢(shì)在于能夠?qū)Χ鄠€(gè)復(fù)數(shù)同時(shí)進(jìn)行計(jì)算，不用單獨(dú)一個(gè)一個(gè)地去求。

例2 求方程的解。

解法一（常規(guī)解法）將代數(shù)式化為三角式，原方程為。所以，的三次方根為： ，也即

。

解法二（用MATLAB計(jì)算）

代碼如下：

roots=solve（'z^3+1=0'），

運(yùn)算結(jié)果：

roots =

-1

1/2+（3^（1/2）*i）/2

1/2-（3^（1/2）*i）/2

用MATLAB計(jì)算顯得非常簡(jiǎn)單。

如果先將方程寫(xiě)成冪的形式：，這是一個(gè)多值函數(shù)，那么，MATLAB僅僅對(duì)其主值（k=0時(shí)）進(jìn)行計(jì)算。

解法三 代碼如下：

（-1）^（1/3）

結(jié)果顯示；

ans =0.5000+0.8660i。

由此看出，利用這個(gè)方法，只能得到一個(gè)答案。所以，一般不選擇此類解法。

我們都知道，MATLAB除了簡(jiǎn)單的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算外，還有更強(qiáng)大的計(jì)算功能，如微積分運(yùn)算。首先，用MATLAB來(lái)極限，舉例如下。

例3 求極限 。

解 代碼如下：

syms z，f=z/sin（z），limit（f，z，0），

運(yùn)算結(jié)果：

f=z/sin（z），ans=1，

即 。

其次，還可用MATLAB求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如：

例4 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

解 代碼如下：

syms z，f=z/（（1+z）*sin（z）），diff（f），

運(yùn)算結(jié)果：

f =z/（sin（z）*（z+1）），

ans =

1/（sin（z）*（z+1））-z/（sin（z）*（z+1）^2）-（z*cos（z））/（sin（z）^2*（z+1）），

也即，。

用MATLAB求復(fù)變函數(shù)的定積分，在形式上與實(shí)變函數(shù)的定積分相同，只是積分限由實(shí)數(shù)變成復(fù)數(shù)而已。格式為：int（function，variable，a，b），其中，function為函數(shù)表達(dá)式，variable為積分變量，a，b分別為積分下限、上限。

例5 計(jì)算定積分 。

解 代碼如下：

syms z，f=z*cos（z），inf=int（f，z，0，i），

結(jié)果顯示：

f=z*cos（z），inf=1/exp（1）-1，

即。

3 MATLAB在級(jí)數(shù)展開(kāi)中的應(yīng)用

一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)解析，那么這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)就能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，這是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)生感到困難的地方。利用MATLAB，我們就很容易掌握函數(shù)在一點(diǎn)展開(kāi)成級(jí)數(shù)的方法。具體格式為F=taylor（f，n，variable，a）， taylor表示泰勒級(jí)數(shù)，n表示展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)，variable表示變量， a表示在這點(diǎn)展開(kāi)。

例6 將函數(shù) 展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。

分析： 如果沒(méi)有特別說(shuō)明，將函數(shù)在哪一點(diǎn)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)，一般是默認(rèn)為在原點(diǎn)把函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)，當(dāng)然，前提是函數(shù)在原點(diǎn)要解析。所以，這里就是在處展開(kāi)。

解 代碼如下：

syms z，f=1/（1+z）^2，F(xiàn)=taylor（f，10，z，0），

運(yùn)算結(jié)果顯示：

f=1/（z+1）^2，

F=-10*z^9+9*z^8-8*z^7+7*z^6-6*z^5+5*z^4-4*z^3+3*z^2-2*z+1，

即 。

4 MATLAB在留數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

利用MATLAB計(jì)算留數(shù)問(wèn)題，將復(fù)雜繁瑣的計(jì)算交由計(jì)算機(jī)處理，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單快捷，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、創(chuàng)造性。對(duì)于形如函數(shù)（均為的多項(xiàng)式）在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，其留數(shù)格式為[r，p]=residue（B，A），其中，r表示留數(shù)，p表示極點(diǎn)；B、A分別表示函數(shù)的系數(shù)組成的行向量。在計(jì)算時(shí)，只需寫(xiě)residue（B，A）即可。

例7 求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。

解 首先寫(xiě)出分子、分母兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，然后再去求residue（B，A）。代碼如下：

B=[1，11，39，52，26]，A=[1，10，35，50，24]，[r，p]=residue（B，A），

運(yùn)算結(jié)果顯示：

B =1 11 39 52 26

A =1 10 35 50 24

r = p=

1.0000 -4.0000

2.5000 -3.0000

-3.0000 -2.0000

0.5000 -1.0000

也即，當(dāng)極點(diǎn)p=-4時(shí)，留數(shù)r=1，余下類推。

若函數(shù)的形式不是有理分式時(shí)，只能先判斷的極點(diǎn)重?cái)?shù)，然后根據(jù)公式

來(lái)求，這里、分別表示極點(diǎn)、極點(diǎn)重?cái)?shù)。它的MATLAB格式如下：

，這里，prod（1：m-1）表示1到m-1連乘積。

例8 求函數(shù)在的留數(shù)。

解 首先判斷是函數(shù)的三重極點(diǎn)，即。寫(xiě)出計(jì)算留數(shù)的MATLAB格式：

limit（diff（sym（'z^3*（1-exp（z））/z^4'），'z'，2）/prod（1：2），'z'，0）。

運(yùn)算顯示： ans=-1/6，即函數(shù)在的留數(shù)為。

5 MATLAB在傅里葉變換中的應(yīng)用

傅里葉變換是積分變換的重要內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一，利用MATLAB可以輕松化解難點(diǎn)。我們知道，傅里葉變換的公式為；那么利用MATLAB求傅里葉變換的格式為F=fourier（Fun，t，w），即將t的函數(shù)變成w的函數(shù)。

例9 求函數(shù)的傅里葉變換。

解 代碼如下：

syms t w，ft=sin（2*t），F(xiàn)=sym（fourier（ft，t，w））。

顯示如下

ft=sin（2*t），

F=-pi*（dirac（w-2）-dirac（w+2））*i，

即 。

傅里葉逆變換的公式為 。在MATLAB中使用ifourier函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)逆變換，格式如下：f=ifourier（Fw，w，t），默認(rèn)w為獨(dú)立變量，默認(rèn)返回函數(shù)是以x為自變量的函數(shù)。

例10 求函數(shù)的傅里葉逆變換。

解 代碼如下：

syms w，F(xiàn)=sin（w）/w， f=simple（ifourier（F）），

運(yùn)行后顯示：

F=sin（w）/w，

f=heaviside（x+1）/2-heaviside（x-1）/2，這里，heaviside表示單位階躍函數(shù)。

即 。

6 MATLAB在拉普拉斯變換中的應(yīng)用

積分變換中有兩個(gè)常用的變換，拉普拉斯變換就是其中一個(gè)。由于拉普拉斯變換在專業(yè)課程、在工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，因此熟練掌握MATLAB方法，用它解決一些拉普拉斯變換問(wèn)題顯得十分有意義。

求時(shí)域函數(shù)f（t）的laplace變換F（s），格式為 F=laplace（f，t，s）。

設(shè)F是s的函數(shù)，參數(shù)s省略，返回結(jié)果F默認(rèn)為s的函數(shù)；f為t的函數(shù)，當(dāng)參數(shù)t省略，默認(rèn)自由變量為t。

例11 求函數(shù)的拉普拉斯變換。

解 代碼如下：

syms t s a b， f=exp（（-a）*t）*sin（b*t），F(xiàn)=laplace（f，t，s），

運(yùn)行后顯示：

f=sin（b*t）/exp（a*t），

F=b/（（a+s）^2+b^2），

即 。

對(duì)于拉普拉斯逆變換，常用的方法是留數(shù)法，部分分式法（即先將函數(shù)分解成一些簡(jiǎn)單的式子，然后再反求），查表法等等。如果借助MATLAB，根本就不需記憶這么多，很容易求出逆變換，格式為 f=simple（ilaplace（F）），對(duì)于f默認(rèn)t為自變量；對(duì)于F，默認(rèn)s為自變量。

例12求的拉普拉斯逆變換。

解 代碼如下：

syms t s， F=1/（（s+1）*s^2），f=simple（ilaplace（F）），

運(yùn)行后顯示：

F=1/（s^2*（s+1）），

f=t+1/exp（t）-1，

即 。

7 結(jié)束語(yǔ)

在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教學(xué)中，將 Matlab 軟件引入課堂教學(xué)，利用Matlab軟件在繪圖和計(jì)算方面的優(yōu)勢(shì)，可以將抽象復(fù)雜的學(xué)習(xí)內(nèi)容，用可視化、動(dòng)態(tài)化的形式 直觀地表現(xiàn)出來(lái)，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)深入理解；同時(shí)還可以簡(jiǎn)化繁瑣的計(jì)算

過(guò)程，讓學(xué)生有更多時(shí)間和精力去體會(huì)和掌握課程的精髓，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng)有趣。通過(guò)上面一些具體例子，我們可以看出， MATLAB對(duì)學(xué)習(xí)確實(shí)有很大幫助，利用它能夠解決很多計(jì)算問(wèn)題，作圖問(wèn)題；能夠化難為易，原來(lái)難以理解的問(wèn)題變得迎刃而解。

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