異構多屬性群決策的TOPSIS擴展方法

代文鋒，齊春澤

（蘭州財經大學信息工程學院，蘭州730020）

0 引言

隨著決策環境日趨復雜，決策往往需要多個決策者共同參與。然而，由于不同決策者在專業知識、決策經驗以及對決策問題的認識等方面都會存在一定差異，因此他們選擇的屬性集，以及采用的信息表示模型也會有所不同。如果強行消除這種差異，一方面會導致信息丟失或失真，另一方面會大大削弱群決策的效用。在這種情況下，如何最大限度的保留所有決策者的偏好，充分發揮群決策的效用，進而做出更全面、客觀的決策，相關決策方法的研究就顯得尤為重要。

近年來，許多學者致力于多屬性決策的研究，提出了一些決策方法。其中，Hwang等[1]提出的TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法以簡單直觀的特點成為目前最常用的決策方法之一。然而，傳統的TOPSIS法存在一些不足：首先，傳統TOPSIS僅適用于單人決策情景，無法解決群決策問題。針對這一不足，文獻[2-5]將TOPSIS擴展到群決策環境；其次，傳統TOPSIS法僅能處理屬性值為精確值形式的決策問題。針對這一不足，文獻[6-12]分別將TOPSIS擴展到區間數、模糊數、直覺模糊數以及猶豫模糊數等決策環境，但這些方法僅能處理某種特定形式的決策信息，但無法處理異構信息，而實際決策中的信息往往是異構的。隨后，文獻[13-16]提出了能夠處理異構信息的TOPSIS擴展形式，但它們都需將異構信息轉換為某種特定類型信息。

盡管上述方法解決了一些多屬性決策問題，但它們仍存在一些不足。首先，除文獻[13-16]外，其余文獻均不能處理異構信息。文獻[13-15]雖然可以處理異構信息，但需要進行信息類型轉換，而轉換會導致信息丟失或失真。其次，不是所有的方法都支持群決策。最后，上述方法均要求決策者采用相同的屬性集，這不僅會導致信息丟失與失真，還在很大程度上削弱了群決策的效用。

本文在現有研究的基礎上，針對上述方法的局限性，提出一種新的決策方法。該方法能夠很好地解決具有多個屬性集的異構多屬性群決策問題。首先，將每個決策者給出的決策矩陣按照屬性劃分為若干相互獨立的單元；其次，計算每個單元內各評價值與相應正、負理想解之間的距離，并按照屬性權重及專家權重對其進行集結，從而得到不同方案與正、負理想方案之間的距離。最后，根據不同方案與理想方案的相對貼近度對方案進行排序。由于該方法將每個決策者都看作一個獨立的實體，允許其根據自身的專業知識及決策經驗構建合適的屬性集，選擇最擅長的信息表示模型，因此最大限度的保留了決策者的決策偏好，減少了信息丟失與失真現象，進而有助于得到更為合理的決策結果。

1 預備知識

1.1 區間數

定義1[17]：設a=[aL，aU]={x|aL≤x≤aU，aL，aU∈R}為實數軸上的一個閉區間，則a為一個區間數。aL和aU分別為a的下界與上界，m(a)和w(a)分別為a的中心數和寬度，m(a)=(aL+aU)/2，w(a)=(aU-aL)/2。

定義2：設a=[aL，aU]和b=[bL，bU]為兩個區間數，其距離公式為：

此外，如果m(a)＞m(b)，則a＞b；如果m(a)=m(b)，則a=b[18]。

1.2 梯形模糊數

定義4[19]：設=(a1a2a3a4)為實數域上的模糊數，如果其隸屬函數為：

定義5[20]：設為兩個梯形模糊數，則其距離公式為：

1.3直覺模糊數

定義8[21]：設X為一給定論域，則稱P={|xi?X}為X上的一個直覺模糊集，其中μP:X?[01]與vP:X?[01]分別表示P的隸屬度與非隸屬度函數，且對于任意xi?X，都有0￡μP(xi)+vP(xi)￡1成立。πP(xi)為P中元素xi的猶豫度，πP(xi)=1-μP(xi)-vP(xi)。xi可記為(μP(xi)vP(xi))，1￡i￡m。為便于描述，如果X中僅有一個元素，則稱P為直覺模糊數，記為P=(μPvP)。

2 基于擴展TOPSIS的異構多屬性群決策方法

TOPSIS一經提出，便引起了許多學者的廣泛關注，目前已出現了許多擴展形式。然而，如前所述，現有TOPSIS擴展形式雖解決了許多決策問題，但依然存在一些不足，因此很難滿足復雜決策情景下的決策需求。現有TOPSIS擴展形式存在的主要問題有：（1）多數方法僅能處理具有單一信息類型的決策問題，而實際決策中的信息往往是異構的；（2）多數能夠處理異構信息的決策方法僅適用于單人決策情景，而復雜問題決策往往是群體行為；（3）絕大多數群決策方法要求決策者須使用相同的屬性集，因此容易引發信息丟失或失真現象；（4）現有方法都是在確定正、負理想解之前，將權重集結到決策矩陣，因此增加了計算的復雜性。

2.1問題描述

設某個決策問題的方案集為A={a1a2...am}，決策者集為E={e1e2...ed}，屬性集為C={C1C2...Cd}，Ck={ck1ck2...cknk}為決策者ek采用的屬性集，wk={wk1wk2...wknk}為屬性集Ck中各屬性的權重，nk為屬性集Ck中屬性的個數，k=12...d。表示決策者ek為方案ai的ckj屬性給出的評價值，λ={λ1λ2...λd}表示決策者權重，決策者ek給出的決策矩陣可表示為：

2.2 決策過程

第一步：構建初始決策矩陣Dk(k=12...d)，將其按屬性劃分為若干單元，并根據每個單元的數據類型單獨進行標準化，得到決策矩陣Sk=。

第二步：確定屬性權重。

可采用最大偏差法確定屬性權重，如果某個屬性的偏差值越大，則分配給它的權重也應越大，反之則越小。具體計算公式如下：

第四步：計算每個模塊中各評價值與相應正、負理想解間的距離，集結所得結果，可得每個方案與正、負理想方案間的距離。

其中，λk表示決策者ek的權重，表示屬性集Ck中屬性ckj的權重。

第五步：計算每個方案與理想方案的貼近度Si，并據此對方案排序。

Si越大，方案Ai越好。

3 算例分析

下面通過兩個算例證明本文所提方法的可行性與有效性。算例1的決策情景是決策者采用相同的屬性集，算例2的決策情景是決策者采用不同的屬性集。

3.1 算例1

為了證明所提方法的有效性，運用本文所提方法解決文獻[16]中的決策問題。某招資銀行擬從四個備選公司Ai(i=1，2，3，4)中選擇前景最好的進行投資，特聘請3位專家el(l=1，2，3)組成評估小組，從經濟效益c1，社會效益c2，環境污染和建設c3以及企業家再生產能力c4等方面對備選公司進行評價，其中，c1，c2和c4是效益型，c3是成本型。Dl(l=1，2，3)表示初始決策矩陣，如表1至表3所示，有關評價信息均來自文獻[16]。

表1 決策矩陣D1

表2 決策矩陣D2

表3 決策矩陣D3

第一步：將初始決策矩陣按屬性劃分為若干單元，并據式（2）至式（6）分別進行標準化，得到決策矩陣Sl(l=1，2，3)，結果略。

第二步：確定每個單元的正、負理想解。

決策矩陣S1中各單元的正、負理想解分別為：=0.950，=[0.950，1.000]，=[0.556，0.667，0.778]，=＜0.700，0.100＞；=0.750，=[0.750，0.800]，=[0.778，0.889，1.000]，=＜0.500，0.300＞。

決策矩陣S2中各單元的正、負理想解分別為：=0.950，=[0.850，0.950]，=[0.556，0.667，0.778]，=＜0.700，0.200＞；=0.800，=[0.800，0.900]，=[0.778，0.889，1.000]=＜0.500，0.200＞。

決策矩陣S3中各模塊的正、負理想解分別為：=0.450，=[0.500，0.550]，=[0.333，0.500，0.667]，=＜0.700，0.200＞；=0.250，=[0.350，0.400]=[0.667，0.833，1.000]，=＜0.500，0.200＞。

第三步：確定屬性權重。

由文獻[16]可知，決策者的權重為λ=(0.3，0.3，0.4)，3個決策者下每個屬性的權重分別為：w1=(0.4，0.3，0.2，0.1)，w2=(0.4，0.2，0.3，0.1)，w3=(0.2，0.4，0.2，0.2)。

第四步：計算每個方案與正、負理想方案的距離。

由式（8）和式（9）可得各方案與正、負理想方案的距離分別為：=0.125，=0.098，=0.092，=0.123，=0.131，=0.086，=0.152，=0.121。

第五步：計算每個方案與理想方案的貼近度。

由式（10）可得各個方案與理想方案的貼近度為：S1=0.439，S2=0.572，S3=0.394，S4=0.442。因此可得A2?A4?A1?A3，這與文獻[16]得到的結果完全一樣，說明本文所提方法是有效的。

3.2 算例2

某市擬對3個企業的綜合實力進行比較評優，特聘請3名專家組成評價小組，每位專家根據自己的專業知識、決策經驗以及對決策問題的理解分別給出屬性集。由于專家意見未能達成一致，因此存在多個屬性集。專家1給出的屬性集為：經濟效益c1，1，產品質量c1，2和售后服務c1，3；專家2給出的屬性集為：經濟效益c2，1，創新能力c2，2和企業文化c2，3；專家3給出的屬性集為：經濟效益c3，1，社會效益c3，2和環境污染c3，3。專家給出的初始決策矩陣如表4至表6所示，其中，c1，1，c2，1和c3，1的值為精確數，c1，2，c2，3和c3，2的值為梯形模糊數，其余屬性的值為直覺模糊數。決策者給出專家的權重為λ=(0.3，0.3，0.4)。

表4 決策矩陣D1

表5 決策矩陣D2

表6 決策矩陣D3

第一步：將初始決策矩陣按屬性劃分為若干獨立單元，并據式（2）至式（6）分別進行標準化，得到決策矩陣Sl(l=1，2，3)，如表7至表9所示。

表7 決策矩陣S1

表8 決策矩陣S2

表9 決策矩陣S3

第二步：據式（7）確定屬性權重，結果為：

第四步：據式（8）和式（9）可得每個方案與正、負理想方案的距離。

第五步：據式（10）可得每個方案與理想方案的貼近度：S1=0.330，S2=0.593，S3=0.571。因此，可得A2?A3?A1，即企業A2的綜合實力最強。

3.3 對比與分析

在算例1中，本文所提方法與文獻[16]所提方法得到的結果完全一致，說明本文所提方法是可行的，也是有效的。在算例2中，由于不同專家采用的屬性集不同，現有相關方法無法解決此類問題，而本文所提方法能夠很好的解決，說明該方法能夠處理更復雜的決策問題。

4 結論

本文針對具有多個屬性集的異構多屬性群決策問題，提出了一種新的決策方法。首先，將具有不同屬性及信息類型的決策矩陣按屬性劃分為若干相互獨立的單元，計算不同單元的評價值與相應正、負理想解間的距離。其次，根據專家權重及屬性權重集結所得結果，得到不同方案與正、負理想方案間的距離。最后，根據不同方案與理想方案的相對貼近度對方案排序，并通過實例分析證明了所提方法的可行性與有效性。同現有相關方法相比，本文所提方法的主要優點為：（1）能夠解決具有多個屬性集的異構多屬性群決策問題，彌補了現有相關文獻的不足；（2）決策者可以根據自身的專業知識及決策經驗構建合適的屬性集，選擇最擅長的信息表示模型，因此最大限度的保留了決策者的偏好，減少了信息丟失與失真現象。（3）現有方法將權重集結到決策矩陣后，才進行確定理想解、計算距離等一系列操作，而本文所提方法在計算方案與理想方案間距離時才引入權重，因此降低了計算的復雜性。將該方法擴展到動態決策環境是本文今后的研究重點。

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