雙邊公平匹配決策方法及其應用

趙煥煥，菅利榮，劉勇

（1.南京航空航天大學經濟與管理學院，南京211106；2.無錫職業技術學院管理學院，江蘇無錫214121；3.江南大學商學院，江蘇無錫214122）

0 引言

現實生活中存在大量的匹配問題，為有效解決此類問題，Gale和Shapley[1]針對婚姻問題提出了匹配理論，隨后Roth等[2]提出雙邊匹配的概念，界定了“雙邊匹配”和“雙邊”的概念，并給出一些求解匹配的算法[3]，將其應用到醫院與實習生的雙邊匹配、入學學生與學校的雙邊匹配、風險投資商與風險企業匹配等領域[4]。

為發展和完善雙邊匹配理論，專家、學者從不同的角度以不同的研究問題為背景，基于經濟學和決策科學等理論與方法構建相應的雙邊匹配方法和模型。由于本文主要探討的決策問題，因此，本文重點關注基于決策科學的匹配方法，其主要是利用證據理論、集結算子等方法，行為經濟科學等構建雜合匹配模型，進而探究雙邊匹配滿意度[5,6]、匹配主體的心理行為[7,8]、匹配穩定性[9,10]、匹配算法[9]等。通過梳理發現，雙邊匹配決策的研究大多是從匹配主體的滿意度或穩定性角度探討匹配問題，缺乏從匹配主體的滿意度和匹配方案的公平性與穩定性整體探究。考慮到穩定性、公平性和滿意性是衡量匹配方案優劣的重要依據，直接影響和決定著匹配決策的質量和效率，本文構建了一種雙邊公平穩定匹配決策方法。

1 雙邊匹配決策模型

在雙邊匹配決策問題中，設A={a1，...，ai，...，am}、B={...，bj，...，bn}分別為有限非空甲、乙方主體集合，其中，m≥2，ai(i=1，2，...，m)為第i個甲方主體，n≥2，bj(j=1，2，...，n)為第j個乙方主體。一般來說，甲方主體ai對乙方主體bj的偏好程度是基于多方面考慮而獲得，設評價屬性集合為C={...，ck，...，cp}，ck為第k個評價屬性，aijk為甲方主體ai對乙方主體bj關于屬性ck的屬性值；wk(k=1，2，...，p)為屬性ck的權重，且方主體bj對甲方主體ai的偏好程度可從屬性集合D={...，dt，...，dq}進行測度，dt為第t個評價屬性，bijt為匹配對象ai對匹配對象bj關于屬性dt的屬性值；ηt(t=1，2，...，q)為屬性dt的權重，且考慮到客觀世界的復雜性、不確定性，匹配評估屬性值往往以區間數給出，即aijk∈[]和bijt∈。

定義1[4]：設μ:A∪B→A∪B為一種法則，對于?ai∈A，?bj∈B，如果滿足μ(ai)=bj或μ(bj)=ai，則分別稱μ(ai，bj)為甲、乙方主體的匹配方案和匹配對。

注：μ(ai)=bj表示在μ中甲方主體ai與乙方主體bj形成匹配，而μ(ai)=ai和μ(bj)=bj分別表示在μ中甲方主體ai和乙方主體bj未有乙方主體和甲方主體與其匹配。根據μ確定的所有匹配對的集合稱為匹配方案μ。

對于甲方主體ai和乙方主體bj，其能否形成匹配主要依據彼此對對方的滿意程度。通常，甲方主體ai和乙方主體bj形成匹配是由于雙方對彼此的滿意度達到或超過其設定的閾值，滿意度越高，兩方主體所形成的匹配就越穩定，匹配方案也越好。設αij表示甲方主體ai對乙方主體bj的總體滿意度；βij表示乙方主體bj對甲方主體ai的總體滿意度。

考慮甲乙主體的不同滿意度和雙方匹配地位的公平性，可用甲乙雙方主體對匹配方案或匹配對象滿意度的偏差描述和測度。鑒于此，可定義匹配主體的公平性匹配方案。

定義2[4]：設μ={...，μs，...，μl}表示由匹配主體集合A和B確定的所有匹配方案的集合，對于μs表示μ中的第s個匹配方案，如果匹配對(ai，bj)的匹配主體對彼此的偏好程度偏差為：

則稱μs稱為雙邊主體公平匹配方案。

其中，s=1，2，...，l，μs=аrg min{f(μ1)，...，f(μs)，....，f(μl)}。

如果f(μs)=0，則μs為雙邊主體絕對公平的匹配方案。

甲方主體ai和乙方主體bj能否形成配對在于雙方對彼此的滿意度。對于甲方主體ai和乙方主體bj，由于滿意度最大時，其與各自理想匹配對象的距離為0。鑒于此，可利用各匹配對象與理想匹配關于屬性集合的距離測度匹配對象ai和bj對彼此的滿意程度。考慮到灰靶決策是根據靶心距離的大小測度對象的優劣[11]，下面定義理想匹配對象，并利用靶心距離定義匹配距離，測度甲乙雙方對彼此的滿意度。

定義3：對于?ai∈A，?bj∈B，如果有則分別稱：

為匹配群體A和B的理想匹配對象。

其中，i=1，2，...，m;j=1，2，...，n;k=1，2，...，p;t=1，2，...，q。

根據上面的定義，對于匹配對象ai和bj，與理想匹配對象a0和b0關于屬性集C和D越接近，可知，其分別對匹配bj和ai的滿意度就越高；反之，滿意度較小。

定義4：對于?ai∈A，?bj∈B(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)，如果

為甲方主體ai和乙方主體bj與其理想匹配對象的匹配距離。

根據定義4可知，對于甲方主體ai，其與他的理想匹配對象的距離越小，其對乙方主體bj越滿意；對于乙方主體bj，其與其理想匹配對象的距離越大，表明滿意度越低。一般匹配主體或匹配系統均存在一個滿意度臨界值，即匹配距離閾值，設λ＞0表示匹配系統主體的匹配距離閾值。考慮到本文是用匹配距離刻畫匹配主體的滿意度，其與滿意度呈現反向關系，如果αij＜λ，表示甲方主體ai認為乙方主體bj是可接受的；βij＜λ，表示乙方主體bj認為甲方主體ai是可接受的。在匹配方案中，當μ(ai)=ai，記甲方主體ai的滿意度αij≥λ；當μ(bj)=bj，記乙方主體bj的滿意度βij≥λ。

設xij決策變量，其中，xij∈{0，1}，如果xij=1，則表明甲方主體ai與乙方主體bj完成匹配；xij=0為未匹配。鑒于各主體與理想匹配對象的距離越小，其對雙方主體的滿意度越高，并考慮到匹配的穩定性與公平性，依據甲方主體ai對乙方主體bj的匹配距離矩陣和乙方主體bj對甲方主體ai的匹配距離矩陣可建立基于距離最小和距離偏差最小的多目標優化模型，如下所示：

其中，式（6a）至式（6c）為目標函數，式（6a）表示最小化所有甲方匹配主體對乙方的距離之和；式（6b）表示最小化所有乙方匹配對甲方主體的匹配距離之和；式（6c）表示甲方主體ai和乙方主體bj在匹配過程中匹配方案的公平性；式（6f）至式（6g）中ci，dj的含義為甲、乙主體ai和bj最多能匹配的對象個數；式（6h）至式（6i）表示甲方與乙方主體的滿意度需要滿足閾值。

對于上面的多目標優化模型，利用模擬植物生長算法[12,13]求解多目標最優匹配方案。

2 案例分析

本文用經濟因素、保障因素、發展因素、環境因素4項8個指標構成農民工決策評價指標。其中,經濟因素主要是指企業提供的薪酬情況；保障因素主要是指福利待遇、參加社會保險情況；環境因素主要是指人際關系、身份認同等方面的情況；發展因素主要是指技能培訓、發展空間等方面的情況。用勞動力成本、勞動者素質、發展潛力、個性特征4項8個指標構成企業（崗位）決策評價指標。其中勞動力成本主要指勞動者期望薪金要求；專業技能主要指農民工教育情況、專業技能、工作經驗等；個性特征主要勞動者忠誠度、吃苦精神等；發展潛力主要指溝通能力、團隊精神等。

為進一步研究農民工和企業崗位的匹配情況，選擇江蘇省無錫市30家招用農民工較多企業人力資源部的工作人員通過電子郵件、傳真等各種方式，向被調查對象發送問卷,請他們根據自身的專業知識和實踐經驗完成從這8個初始指標中挑選出認為應該保留的指標。同時，在企業和勞動力市場，隨機選取80個農民工通過問卷調查的方式，完成從這8個初始指標中挑選出認為應該保留的指標。整個調查歷時半個月,共收回企業調查問卷28份,有效問卷26份,回收率和有效率分別達到了93%和86%；收回農民工調查問卷77份，有效問卷75份，回收率和有效率分別達到了96%和93%；收回政府就業管理部門調查問卷12份，有效問卷12份，回收率和有效率均為85.7%。最后，采用隸屬度分析方法，刪除初設指標與評價目標不相關、重要程度低或不具有可操作性的指標，農民工評價崗位的評價指標薪酬待遇、福利保障、工作環境、發展空間，將其分別記為C={C2，…，C4}；而企業評價農民工主要為期望薪金要求、相關行業工作經驗、專業技能、吃苦精神、忠誠度5個評價指標，將其記為D={d1，d2，…，d5}。無錫市某天人才市場收到6個農民工（分別記為a2，a3，a4，a5，a6）和4個企業（分別記為b1，b2，b3，b4）需求申請，經過調研分析和數據整理，可得農民工和企業崗位互評屬性值，如表1和表2所示。

綜合調查訪談的結果和相關專家的意見，整理可得農民工評價屬性權重為wk=(0.3,0.2,0.22,0.28)；企業評價屬性權重為ηt=(0.25,0.18,0.15,0.2,0.22)；企業和農民工最低匹配距離不得高于或者等于0.2，即λ=0.2；只要企業2和企業3最多招兩名人員，而其他最多招一名人員，即θ1=θ2=...=θ6=1，σ1=σ3=2，σ2=σ4=1。

根據企業崗位與農民工互評的屬性值，利用公式（2）和公式（3）計算，可確定各匹配主體關于屬性集合的理想匹配對象，其分別為：

根據企業崗位與農民工的滿意系數，企業評價指標權重分別為0.25,0.18,0.15,0.2,0.22，農民工評價指標權重分別為0.3,0.2,0.22,0.28，利用公式（4）和公式（5），可求得企業崗位與農民工關于屬性對彼此的匹配距離，可得企業崗位與農民工互評匹配距離，相應地，可確定農民工A對崗位B的匹配矩陣和崗位B對農民工A的匹配距離矩陣，其分別為：

表1 農民工對企業崗位的評價信息

表2 企業對農民工的評價信息

根據農民工和崗位互評的匹配距離矩陣，可構建最優化模型（6），采用植物生長模擬算法利用MATLAB15.0求解上式多目標優化模型，可得最優匹配方案，其匹配結果如下：(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b4)，(a4，b3)，(a5，b3)(a6，b2)。由匹配結果可知，所有農民工均實現了就業，而企業也找到了相對合適企業的人員。基于計算案例可知，所構建的模型充分考慮匹配主體偏好和匹配方案的穩定性與公平性，能夠很好地描述和解決農民工就業匹配問題，更符合參與各方的理想選擇，因而具有較強的穩定性和可操作性。通過模型求解分析，其經濟因素依然是影響農民工就業匹配的重要因素，當雙方在工資福利方面的滿意度差距不大時，最終實現匹配的可能性較大。從2012年開始我國勞動年齡人口開始出現了絕對數量的下降，根據人口發展規律，未來較長時期我國勞動年齡人口還將繼續下降。隨著我國“人口紅利”逐步消失并由此導致了農民工在勞動力市場上工資議價能力的提升，因此，解決農民工就業匹配問題，首先要解決農民工工資收入過低的問題。同時，也要看到要非經濟因素對農民工就業匹配的影響正在加大。從計算結果表明：匹配成功的6對組合在經濟因素上不存在一一對應的關系，說明農民工就業選擇已從追求工資福利待遇等物質需求為主，轉向經濟、保障、發展、環境等其他因素的綜合考量。

3 結論

為有效描述和解決雙邊匹配決策問題，構建一種雙邊公平匹配決策模型。通過模型和案例分析，結果表明所構建的模型能夠很好地描述雙邊匹配決策問題，并且與已有方法相比，模型不僅考慮了匹配方案的穩定性，更關注了匹配的公平性和滿意性，能夠為解決現實中基于多屬性評價信息的雙邊匹配問題提供借鑒。

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