模糊判斷矩陣的一致性檢驗

楊燕華，呂躍進

（廣西大學a.電氣工程學院；b.數(shù)學與信息科學學院，南寧530004）

0 引言

層次分析法（AHP）[1，2]中，決策者通過對同一層次中兩兩因素的比較得到判斷矩陣，并由判斷矩陣得到該層次各因素的排序權重向量。判斷矩陣的一致性及一致性檢驗標準影響著最終的排序結(jié)果。美國運籌學家Saaty教授提出了用平均隨機一致性指標RI修正CI的方法，并給出1至13階矩陣的RI值。這一方法在AHP中被普遍接受和應用。

由于客觀事物的復雜性、決策者自身的局限性，一些學者把模糊數(shù)學的思想和方法引入到層次分析法中，提出模糊層次分析法（FAHP），將AHP中構造的正互反判斷矩陣轉(zhuǎn)為構造模糊互補判斷矩陣[3-5]。對于模糊互補判斷矩陣的一致性問題，目前尚無統(tǒng)一的檢驗方法，有文獻提出不同檢驗的方法。文獻[6]給出關于互補判斷矩陣滿意一致性的定義，通過建立可達矩陣給出互補判斷矩陣滿意一致性的判定方法，但該方法只粗略地考慮了因素重要性的次序一致性，沒有考慮重要性程度的一致性；文獻[7]定義了一個衡量模糊判斷矩陣加性一致性程度的指標，但并沒有規(guī)范地給出所定義的一致性檢驗指標小于何閾值時，判斷矩陣能通過一致性檢驗。

本文通過加性一致性條件的數(shù)學變換，定義了一個模糊一致性檢驗指標，通過MATLAB仿真實驗構造足夠數(shù)量的n階隨機模糊互補判斷矩陣，并計算平均隨機模糊一致性指標，得到模糊一致性比率，給出不同階數(shù)下判斷矩陣通過一致性檢驗的條件。

1 模糊互補判斷矩陣

定義1[8]：設矩陣R=(rij)n×n，若有0≤rij≤1，則稱矩陣R是模糊矩陣。

定義2[8]：設模糊矩陣R=(rij)n×n，若有rij+rji=1，則稱矩陣R是模糊互補矩陣。

定義3[8]：設模糊互補矩陣R=(rij)n×n，若對任意k，均有rij=rik-rjk+0.5，則稱矩陣R是模糊一致矩陣。

定理1[9]：設R是n階模糊矩陣，則R是模糊一致矩陣的充分必要條件是存在一n階非負歸一化的向量W=(w2，…，wn)T及一正數(shù)a，使得?i，j，有下式成立：

上式等號兩邊同時對j求和，得：

文獻[9]已經(jīng)給出a的一個判斷，a越小表明決策者非常重視元素之間的差異，a越大表明決策者不是非常重視元素間重要程度的差異。在實際應用中，認為應取a=(n-1)/2。

2 模糊一致性指標FCI及一致性檢驗

模糊互補判斷矩陣R中的任意一個元素rij反映的是兩個待選方案i和j之間的重要程度之比，可以通過兩個方案的直接比較得到。矩陣R一致的充分必要條件是rij=a()wi-wj+0.5成立。但在實際進行兩兩比較判斷時，由于信息的不完備性以及人類思維的局限性，一般情況下R很難達到一致，即所以，對i，j，有：

對于上式，本文認為模糊互補判斷矩陣R與一致性矩陣的偏差在一定范圍之內(nèi)是可以接受的，當矩陣R越接近一致性矩陣時，可接受的程度越高。

又因為矩陣R的互補性，有rii=0.5，當i=j時，，因此主對角元素對于矩陣R是否一致沒有影響。

綜上分析，本文給出模糊互補判斷矩陣R的一個模糊一致性檢驗指標FCI。

稱FCI為模糊互補判斷矩陣R的模糊一致性指標。FCI表示rij對矩陣R不一致的貢獻程度。

又由于矩陣R是互補的，有下面等式成立：上式表明，計算R的模糊一致性指標FCI只需要考慮矩陣的上三角元素。

定理2：模糊互補判斷矩陣R=(rij)n×n是一致性矩陣的充分必要條件是FCI=0。

FCI用來衡量模糊互補判斷矩陣R與一致性矩陣的偏差程度，F(xiàn)CI為0表示R與一致性矩陣沒有偏差，F(xiàn)CI越大表示R的一致性越差。若FCI的值在某一可接受的范圍之內(nèi)，認為矩陣R是滿意一致的。

定義5：設模糊互補判斷矩陣R=(rij)n×n，當FCI≤c（c為常數(shù)），稱R是滿意一致的。

定義6：平均隨機模糊一致性指標FRI是指多個同階隨機互補判斷矩陣的模糊一致性指標FCI的平均值。

根據(jù)平均隨機模糊一致性指標FRI的思想，構造數(shù)量足夠、且在0.1～0.9模糊標度下的n階平均隨機互補判斷矩陣，分別計算其FCI值，最后得到FCI的平均值即為FRI。其計算過程如下：

步驟1：從0.1～0.9模糊標度共9個數(shù)中隨機均勻取值，作為矩陣R的上三角元素，主對角元素取0.5，下三角元素取1減去對應位置的上三角元素，構成n階隨機模糊互補判斷矩陣；

步驟2：計算所得隨機模糊互補判斷矩陣的模糊一致性指標FCI；

步驟3：重復上述步驟得到足夠多的隨機矩陣，計算樣本均值。

這個均值就是平均隨機模糊一致性指標FRI，是與階數(shù)n相關的數(shù)值。通過Matlab編碼實現(xiàn)上述過程。為了保證得到更精確的平均隨機模糊一致性指標，迭代次數(shù)均為10000次，即分別構造10000個n階隨機模糊互補矩陣（這里僅列出階數(shù)n為3至20階）。結(jié)果見表1。

表1 3至20階模糊互補判斷矩陣的平均隨機一致性指標表

對模擬計算結(jié)果分析做出樣本頻率分布圖，如圖1（曲線從左至右分別代表4至9階）。

圖1 不同階數(shù)（4至9階）隨機模糊互補矩陣FCI值分布圖

當n>3時，F(xiàn)CI的樣本頻率近似為正態(tài)分布。當n=7階時，頻率曲線在FCI=0.0498附近達到最高峰；當n=8階時，頻率曲線在FCI=0.0464附近達到最高峰；當n=9階時，頻率曲線在FCI=0.0514附近達到最高峰。

FRI值隨著階數(shù)增大而增大，但總體上趨于一個穩(wěn)定值。進一步實驗表明，當階數(shù)足夠大，超過500階時FRI基本趨于0.0666。

定義7：模糊一致性指標FCI與同階的平均隨機模糊一致性指標FRI的比值，稱為模糊一致性比率，記為：

用模糊一致性比率FCR檢驗矩陣的一致性，F(xiàn)CR越小，矩陣的一致性越好。根據(jù)Saaty的判斷思想，決策者有意識構造的判斷矩陣要比隨機構造的判斷矩陣至少優(yōu)十倍，因此，一般認為，F(xiàn)CR≤0.1，模糊互補判斷矩陣符合滿意的一致性標準，得到的層次單排序的結(jié)果是可以接受的，否則需要修正判斷矩陣，直到檢驗通過。

下面給出算例。由表1知4階矩陣的平均隨機模糊一致性指標FRI(4)=0.0335。

3 與文獻[6]、文獻[7]的比較分析

下面利用文獻[6]、文獻[7]中的算例進行比較分析。

（1）利用文獻[6]的方法，計算R的可達矩陣為：

T對角線上存在為1的元素，可知矩陣R不一致。但是文獻[3]計算可達矩陣的方法，只是在邏輯關系上考慮了不同因素之間的優(yōu)越關系，不能體現(xiàn)元素之間重要性程度或優(yōu)越性程度的一致性。

（2）利用文獻[7]定義的加性一致性指標

計算R的加性一致性指標為ρ=0.5。文獻[4]直接假設一個閾值ε=0.2，認為ρ=0.5＞ε，故矩陣R一致性較差，沒有給出ε取值的理論依據(jù)。這也是很多文獻[10，11]在定義一致性指標時存在的不足，并沒有規(guī)范地給出通過一致性檢驗的閾值。

（3）利用本文定義的模糊一致性指標計算得FCI=0.0525，通過與仿真實驗得到的平均隨機一致性指標進行比較，檢驗一致性比率FCR=1.5672＞0.1。結(jié)果與文獻[6]、文獻[7]一樣，矩陣R不通過一致性檢驗，且一致性較差。

4 結(jié)束語

本文通過定義模糊一致性指標，仿真實驗給出平均隨機模糊一致性指標，其比值用以衡量判斷矩陣是否通過一致性檢驗，具有一定理論意義。本文的后續(xù)工作將是提出更具一般性的模糊互補判斷矩陣的一致性檢驗指標，而不僅僅局限在加性一致上，并深入研究檢驗條件FCR≤0.1與矩陣階數(shù)的關系。

[1] Saaty T L.The analytic hierarchy process[M].New York:McGraw-Hill,1980.

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