商品不可分割條件下價格變化時的消費者選擇及其福利

夏 明

（南開大學 經濟學院，天津 300071）

0 引言

消費者的選擇和效用（福利）問題在微觀經濟理論中一直居于核心地位，很多微觀經濟理論和實證研究都是建立在消費者效用問題上。同時，微觀經濟理論又是宏觀經濟理論的基石，對消費者行為的考量在許多宏觀經濟模型的建立中是必不可少的。在諸多影響消費者行為的因素中，價格是最重要的因素之一，研究價格變化對消費者的行為和福利的影響對于制定各種科學合理的經濟政策有著重要的意義。

在價格變化對消費者行為和福利的影響方面，學者們進行了深入的研究[1-4]，國內比較有代表性的研究主要集中在糧食和食品上：邵飛等（2010）[5]、徐永金等（2012）[6]和苗珊珊（2014）[7]均運用Minot模型分別分析了我國玉米價格波動的福利效應、糧食價格波動對主產區福利的影響和中國糧食價格波動的農戶福利效應；羅知等（2010）[8]研究了進口商品價格波動對城鎮居民消費支出的影響；趙昕東等（2013）[9]利用QUAIDS模型和補償變量法分析了食品價格上漲對不同收入等級城鎮家庭消費行為與福利的影響；李光泗等（2014）[10]用供求曲線圖以及剩余的概念分析了兩種不同糧食價格政策對社會福利的影響；王小葉（2015）[11]從希克斯消費者剩余的角度研究了食品價格上漲對城鎮居民福利的影響；趙昕東等（2016）[12]運用EASI需求系統分析了各類食品價格上漲對不同收入等級城鎮家庭消費與福利的影響。但這些研究所基于的單個消費者需求曲線和市場需求曲線是以商品在實物上可無限分割（這就使得商品的數量可以是任意的非整數）為假設條件的。而在現實生活中，商品在實物上作為一個完整的個體一般是不可分割的，只能以整數單位被購買，如商品房、汽車、家電產品、服裝等；而有些商品，其本身雖可被分割或近乎無限分割，但由于早已被包裝成了一份一份的，因此也只能以整數單位（份數）被購買，如礦泉水、各種飲料、食用油、奶粉、麥片、超市里已被分割并包裝好的肉類等。因此，需要研究在現實中商品不可分割條件下當商品價格變化時消費者的最優選擇是如何確定的，呈現怎樣的規律和特征，相應的消費者福利又是怎樣的。而對于這些問題，鮮有學者進行過研究，因此，本文將基于柯布-道格拉斯效用函數對這些問題進行研究。

1 模型構建

為了使分析具有最廣泛的代表性，本文的分析基于最常用的柯布-道格拉斯效用函數，這一函數形式是最典型的良性且嚴格凸的偏好形式。在柯布-道格拉斯效用函數形式下，所分析的商品是正常商品，這就排除了低檔商品和吉芬商品這些特殊情況。同時，模型中的消費者定義為代表性消費者。

在確定了效用函數形式之后，依照對消費者最優選擇問題的經典分析，本文設有兩種商品：一種是我們所要關注的商品，而另一種是所有其他商品的復合，稱為復合商品，通常視為貨幣。這樣既可以簡化分析，又不失結論的一般性，由此可構建一個二維圖形模型，如圖1所示：

圖1

圖1中，橫軸代表商品1的數量，記為X1，這是我們要關注的商品，其價格記為P1；縱軸代表商品2的數量，記為X2，商品2是除商品1之外的所有商品的復合，稱為復合商品，其價格記為P2。由于把復合商品視為貨幣，因此有P2=1，同時，由于最小單位的貨幣可以很小，因此可以把商品2近似看成可無限分割。

模型中的柯布-道格拉斯效用函數形式是U=X1a

X2b，其中U代表效用，系數a和b分別是商品1和商品2的消費支出所占的收入份額，且有a+b=1。圖1中的兩條無差異曲線u1和u2代表不同的效用，且有u2＞u1。

圖1中的L1和L2分別是當商品1的價格P1為P11和P12（P11＞P12）時的預算線，L1的方程是 P11X1+P2X2=m ，L2的方程是 P12X1+P2X2=m 。L1與u1相切于點A，L2與u2相切于點C，點A與C所對應的X1分別是A1和C1，設A1和C1恰為相鄰的兩個整數，即C1=A1+1。在柯布-道格拉斯效用函數形式下易解出：A1=am/P11,C1=am/P12。

圖1中的D點是位于L2上的一點，D點所對應的X1也是A1，連接A、D兩點，則線段是與橫軸垂直的，上的點所對應的X1均為整數A1；B點是位于L1上的一點，B點所對應的X1也是C1（B點也有可能位于L1在橫軸下方的延長線上，即預算線為L1時，全部的收入都不足以購買到C1單位的商品1。但為了分析的方便，本文假設B點位于橫軸上方，這樣做并不失分析和結論的一般性），連接B、C兩點，則線段是與橫軸垂直的，上的點所對應的X1均為整數 C1。

2 消費者最優選擇分析

當價格變化時，在商品可無限分割的條件下，消費者的最優選擇軌跡是一條連續的價格提供曲線。而在商品不可分割，只能以整數單位被選擇或購買的實際條件下，消費者的最優選擇是怎樣的呢？現以圖1中區間（A1，C1）即價格區間（P12，P11）為例進行分析。

當P1處于區間（P12，P11）時，相應的預算線就處在L1與L之間，如圖1中的虛線L所示。L與線段和分

233別相交于點E和F，與價格提供曲線相交于點G，點G所對應的 X1為 G1，且 A1＜G1＜C1，G1是一個非整數。在商品可無限分割條件下，G是一個最優選擇，消費者會選擇購買數量為G1的商品1。但是當商品不可分割時，G1是無法實現的，從而G也是不可實現的，那么此時的最優選擇是怎樣的呢？當商品不可分割，只能以整數單位被購買時，消費者只能在自己的預算線上所對應的X1為整數的點中去選擇使其效用最大的點。那么如何才能最為方便地找到這些點呢？更為重要的，這些點的分布具有怎樣的規律和特征呢？

圖1中的G點是L3與位于u1和u2之間的某條無差異曲線（如圖中的虛線u3）的切點。根據邊際替代率遞減的原理，從G點出發，沿著預算線L3向左上方移動。即隨著X1越來越少時，每減少一單位X1，為保持效用不變，需增加的X2的量應當越來越多，即ΔX2/ΔX1的值應當越來越大于G點處的邊際替代率（即預算線L3的斜率P1）。而由于預算線L3的斜率不變，恒等于P1，每減少一單位X1，增加的X2的量也是固定不變的，即固定為P1，因此，從G點出發，沿著預算線L3向左上方，其效用是越來越少的。所以，在L3上，位于G點左邊的所有對應的X1為整數的點中，效用最大的一定是G點左邊第一個這樣的點，即E點。由于L3代表位于L1與L2之間的任一條預算線，則L3與價格提供曲線的交點即G點就是價格提供曲線上位于A點與C點之間的任一點，因此L與線段的交點即E點就是位于線段

3上A點和D點之間的任一點。同時，當P1=P11或P12時，則L3與L1或L2重合，G點就分別與A點或C點重合，則E點就分別與A點或D點重合，因此，E點將取遍線段上所有的點，即E點所對應的X1總是為整數A1。同樣根據邊際替代率遞減的原理，在L3上，位于G點右邊的所有對應的X1為整數的點中，效用最大的一定是G點右邊第一個這樣的點，即F點。同理可知，F點將取遍線段上所有的點，即F點所對應的X1總是為整數C1。

因此，當價格P1在區間[P12，P11]上變化時，相應的預算線就在L1與L2之間變動（包括與L1、L2重合的情況），相應的最優選擇點G就在價格提供曲線上，在點A與點C之間變動（包括與點A、C重合的情況）；對應的G1將相應的在區間[A1，C1]上變動。在商品不可分割的條件下，最優選擇要么是點G左邊的線段上的點（包括G點與A點重合的情況），要么是G點右邊的線段上的點（包括G點與C點重合的情況）；相應的對X1的最優選擇要么是小于或等于G1的最大的整數A1，要么是大于或等于G1的最小的整數C1。那么什么時候選擇線段上的點（即點E，這時X1=A1），什么時候選擇線段上的點（即點F，這時X1=C1）呢？

隨著價格P1的變化，每一條相應的預算線L3都將與線段、分別交于E、F點，因此可先求出E、F點的坐標，然后得出點E、F處的效用（分別記為UE、UF）。

先求出E點的坐標。E點是L3與線段的交點，因此可由下列方程組解出E點的坐標：

其中的bm和m－A1P12分別是點A與點D的縱坐標。

解得E點的橫、縱坐標分別為X1=A1和X2=m－A1P1，(P12≤P1≤P11)。則P11)，可見UE是相對應的價格P1的函數。

同理，根據下列方程組解出F點的坐標：

其中的m－C1P11和bm分別是點B、C的縱坐標。

解得F點的橫、縱坐標分別為X1=C1和X2=m－C1P1，則P11)，可見UF是相對應的價格P1的函數。

容易證明，UE和UF均是連續可導且在定義域(P12≤P1≤P11)內均是單調遞減的，反過來說，當P1從P11逐漸下降到P12的過程中，UE和UF均是逐漸增大的。同時，由于A點的效用大于B點的效用，而D點的效用卻又小于C點的效用，也就是說當P1=P11時，UE＞UF。而當P1=P12時，UE＜UF，那么在P1從P11逐漸變化到P12的過程中，必有某個價格使得UE=UF。求解方程UE=UF，可得：

如將A1=am/P11,C1=am/P12代入上式，還可得：

也可以通過圖形來看，假設圖1中所畫出的L3恰好是當P1=時的預算線，那么圖中的點E、F處的效用是相等的，UE=UF。即不管選擇的X1是A1還是C1，效用都一樣，都是最優選擇；而當＜P1≤P11時，圖中線段（除去端點E）上的點的效用均大于線段（除去端點F）上相應點（即處于同一條預算線上的點）的效用。此時應取線段（除去端點E），即選擇的X1為A1；同理，當P12≤P1＜時，應取線段（除去端點F），即選擇的X1為C1。由此可知，在商品不可分割的條件下，消費者的選擇具有這樣的特征：即消費者會在與非整數最優選擇量（在商品可無限分割假設下所得出的，如圖1中的G1）最左右相鄰的兩個整數量（如圖1中的A1和C1）之間作出選擇。隨著價格的下降，消費者最初會一直選擇位于該非整數最優選擇量最左邊的整數量（即小于該非整數最優選擇量的最大整數量）；當價格下降突破某個臨界值（如上述中的）時，消費者的選擇會躍升到位于該非整數最優選擇量最右邊的整數量（即大于該非整數最優選擇量的最小整數量）。

以上是以某兩個相鄰整數量（A1和C1）為端點所構造的區間為例進行分析，而對于所有這樣的區間都可以有同樣的分析和結論。可見，在商品不可分割的條件下，隨著價格的逐漸變化，消費者的最優選擇的軌跡不再是一條連續的價格提供曲線，而是由一系列所對應的商品數量恰為整數的垂直線段所組成。

3 消費者福利分析

現從效用的角度來分析消費者的福利，以圖1中區間[A1，C1]為例。

本文假設圖1中所畫出的L3即為P1=時的預算線，則點E、F處的效用相等。L3與價格提供曲線相交于點G，點G所對應的X1為G1，本文先分析區間[A1，G1]，再分析區間[G1，C1]。

在區間[A1，G1]上，即價格區間[，P11]上，與每一個價格對應的預算線與線段和各有一個交點，線段上的交點的效用（記為uAG）是大于線段上的交點的效用（記為uAE），在商品不可分割的條件下，只能取線段上的交點，由此就產生了效用損失。而在價格從P11逐漸下降到的過程中，相應的預算線就會逐漸地從L1轉向L3，相應的預算線與線段的交點會逐漸地從點A移向點E，與線段----的交點會逐漸地從點A移向點G，因此就會連續產生效用損失，則總效用損失就可用以下數學式來計算：

求解上式得：

同理，對于區間[G1，C1]，即價格區間[P12，]，其總效用損失可用以下數學式來計算：

求解上式得：

上面分別求出了區間[A1，G1]和[G1，C1]上的效用損失，則區間[A1，C1]上的效用損失就是和之和，即便是區間[A1，C1]上消費者的福利損失。

以上是以某兩個相鄰整數量（A1和C1）為端點所構造的區間為例進行分析和計算，而對于所有這樣的區間上的福利損失都可以有同樣的分析和計算。

4 總結

本文是以柯布-道格拉斯效用函數這一偏好形式為例進行分析。實際上，對于其他良性且嚴格凸的效用函數形式，只要所涉及的商品（即文中的商品1）是非吉芬商品，哪怕是低檔商品，其需求量都會隨著價格的下降而增加。本文的分析和結論也是完全適用的，僅僅是所計算出來的效用損失的表達式不同（因為效用函數的具體形式不一樣）。

本文基于柯布-道格拉斯效用函數對商品不可分割條件下當價格變化時的消費者最優選擇及其福利進行了分析。結果表明，在商品不可分割條件下，由于消費者只能以整數單位去選擇或購買商品，因此隨著價格的逐漸變化，消費者的最優選擇的軌跡不再是一條連續的價格提供曲線，而是由一系列的所對應的商品數量恰為整數的垂直線段所組成。這同時也會導致消費者對商品的選擇不是過少就是過多，進而就會導致福利的損失。因此，為了減少消費者的福利損失，可以采取一些措施對商品進行盡可能的分割或者“分割”，這方面的措施可以包括兩種情況：一是對于那些在實物上可進行一定程度分割的商品，在綜合考慮了各種因素（比如分割商品所導致的成本）的情況下可盡量分割；二是對于那些在實物上不能進行分割的商品，可以采用產品差別化的辦法對其進行“分割”。

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