關于空間觀念及教學的思考

□董文彬

空間觀念是小學數學教學的重要內容，是小學階段重要的數學核心素養之一。正因為如此，空間觀念的培養一直是小學數學教學研討的重要話題。筆者認為，首先要思考這樣幾個問題：第一，空間觀念的本質是什么？特別是對義務教育階段的兒童來說，他們空間觀念的形成與發展是教出來的嗎？先天因素與后天養成哪個重要？第二，空間觀念教學中，我們的數學教育能為后天培養起什么作用？如何幫助學生很好地發展空間觀念？

一、關于空間觀念

1.空間觀念的本質是什么？空間觀念作為數學學習中重要的核心概念，已經有很多研究。史寧中教授曾明確指出： “空間觀念是對空間中物體的位置以及位置之間關系的感性認識。”

關于空間觀念， 《義務教育數學課程標準 （2011年版）》是這樣界定的： “空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。”

在對 “什么是空間觀念”的論述中，出現頻率最高的一個詞語是 “想象”。由此可見，空念觀念的本質是空間想象力。這種想象力既包含現實世界物體到數學世界圖形的數學化過程的抽象，也包含數學化的平面圖形到現實世界物體的想象。小學數學中的空間觀念還有對空間方位的認識，以及想象和判斷物體所在的位置及位置關系。

2.空間觀念是 “教”出來的嗎？下面以 “北師大版”三年級 （下冊）第二單元 “觀察物體”第二課時“看一看 （二）”中的一個問題為例 （如下圖）：

淘氣從窗外看到的情景會是下面哪幅圖？說說你的理由。

① ② ③ ④

課始，出示情境圖和問題后，教師提問： “請同學們先想一想，做出選判斷和選擇。需要時可與同伴合作，模擬題目中的情景做一做，看看你的選擇對不對？”一位學生想了半天，自言自語： “我就是想不出來！”這位學生極不情愿地操作，嘴里嘟噥著：“這回我是選擇出來了，可是有什么意義呢？考試的時候會讓我模擬操作嗎？”課堂鞏固環節，學生做一道與此題目類似的課后習題，這位學生又說： “我還是想不出來！”課后，教師也很沮喪： “想也想了，模擬著做也做了，學生獨自解決問題時還是想象不出來，我也沒辦法了！想象力是學生天生的，后天沒法培養，空間觀念這東西本身就不是教出來的！”也有的教師一聲嘆息： “空間觀念，想說愛你不容易。”

空間想象力是先天具備的還是后天習得的？或者說空間觀念是 “教”出來的嗎？空間觀念既然是一種空間想象力， “想象”這個詞似乎與生俱來，也的確因人而異。空間觀念有先天的因素，這種先天因素主要是人的一種直觀想象能力。有些人的直觀想象能力天生要強一些，他們往往能夠直觀洞察到事物的本質，他們原初的想象和判斷往往也能夠直接抓住事物的核心，而有些人先天的直觀想象能力則要偏弱一些。我們必須承認，學生的直觀想象能力的確與先天有關，但也有后天培養的因素。作為教育者，我們要思考的是我們的數學教育能為空間觀念的后天培養起什么作用。筆者認為，這種作用主要體現在分析思辨、數學推理與數學表達能力。

二、關于空間觀念的培養及教學思考

1.空間觀念教學，應當全面而深入地認識其學習載體及階段性發展區別。在小學階段，空間觀念的培養一般是伴隨著對核心概念的本質認識而呈階段性發展的。比如，小學數學五年級 （下冊） “展開與折疊”就是借助正方體與展開圖之間對應的關系，完成二維圖形與三維圖形進行相互間的轉化，以培養空間觀念。而這里空間觀念的發展是伴隨對正方體這個核心概念，是在對其本質特征的再認識中進行的。再比如，小學數學五年級 （上冊） “軸對稱的再認識”就是借助對軸對稱這個核心概念的本質認識而發展空間觀念的，而這里空間觀念是在三年級初步認識軸對稱的基礎上在第二階段再認識中進一步發展的。

正是因為空間觀念發展的這種階段性特征，教師只有在教學前提前思考一些重要的核心問題，才能更好地幫助學生培養空間觀念。比如，教學五年級 （上冊） “軸對稱的再認識”一課前，教師就需要思考以下問題：

（1）和三年級相比，五年級的軸對稱再認識有哪些變化？需要再認識些什么？如何進行整體把握？

（2）五年級的軸對稱再認識，承載的主要教學目標是什么？ （知識目標和素養目標）

首先，三年級認識軸對稱主要是判斷結果，判斷一個圖形到底是不是軸對稱圖形，這種判斷主要是基于動手操作的實踐經驗積累的基礎上進行的感性判斷；而五年級認識軸對稱除了判斷結果外，還要探究原因，主要從軸對稱的特征去探究的理性辨析。比如，為什么菱形和正方形是軸對稱圖形，平行四邊形就不是？菱形和正方形都是四邊相等，為什么對稱軸條數不一樣？其次，三年級對軸對稱圖形主要是初步的整體認識，軸兩邊圖形一樣即可 （對折后能完全重合），五年級還需要對軸對稱圖形有細致觀察，更加注重軸兩邊圖形的點、線、角等構成元素的位置關系。在補全軸對稱圖形的過程中，能用距離、角度等數學語言量化和描述軸兩邊的對應點、對應線間的關系。再次，三年級時主要是認識軸對稱本身的特點，而五年級還需要從運動 （翻轉）的角度再次認識圖形，以及圖形之間的關聯。也就是說，相對于三年級時從靜態的角度觀察圖形，五年級軸對稱 （包括平移、旋轉）的再認識學習，拓展了觀察圖形的新角度——從動態的角度觀察、認識和深入理解圖形。軸對稱是學習的具體載體，除了軸對稱本身的核心本質特征要理解外，“核心素養——空間觀念”的培養是這部分內容承載的重要目標。對軸對稱的認識的學習，從三年級到五年級，從操作想象到思維想象，從感性認識到理性探究，學生經歷了逐次深入的階段，空間觀念的發展也經歷了從建立到深入發展的階段。然而，這種空間觀念的培養，從感性上看容易，從理性上看卻很困難。因為從感性上看，學生有與生俱來的對圖形結果的平面視覺和模糊感覺；從理性上看，學生需要對圖形運動過程的空間想象和數學語言的精準表達，而這些恰恰是需要后天培養的。在教學中，教師只有全面而深入地認識了空間觀念的學習載體和階段性發展的區別，才能更好地培養空間觀念。

2.空間觀念教學，應當幫助學生在數學活動中積累想象的經驗，逐步發展高階思維。比如 “展開與折疊”一課，認識長方體與正方體的展開圖，是小學階段促進學生空間觀念發展的一項重要內容。但是三維圖形與二維圖形之間的互相轉化，對于學生的空間想象能力要求較高，并不是教師給了學生想象的時間，學生就能想象出來的。需要教師將想象的過程進行分解，分層遞進，幫助學生在活動中積累想象的經驗，逐步發展空間觀念。例如，通過操作展開圖在立體與平面的轉換過程中建立表象，從而實現在不操作的前提下去想象動態折疊的樣子形成想象的經驗，再通過表達來解釋自己想象的結果，從而發展學生的空間觀念。

另外，在教學中教師要特別注意在培養學生的高階思維中發展空間觀念。空間想象力就是一種高階思維，從操作表征到思維表征是學生空間想象力發展的一般途徑，但教師切忌在教學中不要一上來就進入動手操作，相比于想象、思辨、推理，動手操作是一種低階思維，如果用這種操作性的低階思維代替了想象的高階思維，學生空間觀念的建立和發展必然大打折扣。如前文提到的 “觀察物體”的學習活動，不是以“我”為基準，而是以 “他”為基準判斷方位或者位置關系。在教學中，教師更應注重讓學生先想象觀察、猜想思辨、合情推理，必要時再通過模擬場景、動手操作等對之前的高階思維結果進行驗證，以在有條理的數學思考中發展空間觀念。

3.空間觀念教學，應當基于學情，注重進行充滿智慧與挑戰的有價值的學習活動設計。空間觀念的培養，需要教師基于學情設計有價值的學習活動，這種學習活動應該是充滿智慧與挑戰的，是一個讓學生的學習獲得從 “有”到 “更有”的過程。下面以 “軸對稱的再認識 （二）”教學為例，簡析之。

教學前，對兩個班的80名學生進行了前測，前測結果發現98%的學生對于教材 “問題串”中的三個題目都能畫對。而在絕大多數學生學前已經 “會”了的前提下，這節課該學什么？對于那些表面會畫但實際對問題一知半解的學生，如何達到對軸對稱圖形本質的深入理解？對于那些已經真正理解了問題本質的學生，如何創設認知沖突發展他們的高階思維，進而發展空間觀念？于是教師在教學中，整合教材資源，改編 “問題串”，重新設計學習活動。

活動一：這是一個軸對稱小房子的一半，你能想象出整個房子的樣子嗎？能畫出來嗎？

（生先想象，用手比畫，片刻，在學習單上畫）展示學生作品1：

師：看了這幅圖，你有什么感受？

生1：他畫得不對。

師：怎么判斷他畫得不對？

生1：對稱軸左右兩邊的圖形必須完全一樣，他畫得不一樣。

生2：房子下面最左邊一點到對稱軸有2格，而最右邊一點到對稱軸有3格，格數不同，所以錯了。

生3：按照他畫的房子，沿著虛線 （對稱軸）想象翻折后，兩邊的圖形不能完全重合。

師：那我們一起想象著折一折，如果把虛線左邊的圖形對折到右邊，右邊的圖形會是什么樣？

（生上前邊說邊畫出虛線右邊的圖形，如下）

師：反過來，如果把虛線右邊的圖形翻折到左邊，左邊的圖形又會是什么樣呢？

（生上前邊說邊畫出虛線左邊的圖形，如下）

展示學生作品2：

生1：感覺這個畫對了。

師：除了感覺外，你怎么知道他畫的是對的？

生1：沿著對稱軸想象對折后，兩邊的圖形能完全重合。

生2：將對稱軸兩邊圖形上的線逐一對應比較，它們到對稱軸的格數一樣。

生3：也可以先找原來圖形上的點，再找和這些點的對稱點，注意格數得一樣。

師：原來一半的小房子上有很多點，是每個點都要數嗎？

生3：不用，只要找一些特殊的點、關鍵點就行了。

師：哪些點是關鍵點？

（生上前指，畫出原圖形上每條線段的端點，共5個點，如下）

師：然后怎樣找到它們的對應點呢？比如小房子房檐最左邊這個點A的對稱點怎么找？

（生上前，根據A點到對稱軸是3格，沿對稱軸垂直方向向右數出3格，畫出對稱點A＇，如下）

師：那其他點的對稱點又各自在哪，怎么找呢？

（生上前，根據各點到對稱軸的格數分別畫出相應的對稱點）

生3：再把這些點的對稱點依次連線畫出來就行了 （如下）。

（總結方法：確定點——到對稱軸距離相等——對稱點→連線）

從上面的教學片段可以看出，教師讓學生先想后畫，這個過程及效果完全不能等同于讓學生上來就機械地直接畫。然后，再借助典型錯例，初步對軸對稱的特點進行審視，引導學生在頭腦中想象著從左到右、從右到左對圖形進行翻折運動，這個過程就是幫助學生建立和培養空間觀念的過程。最后，通過生生交流，對形狀、距離這些圖形元素逐漸明晰，啟發學生知其然也知其所以然。

活動二：數字 “9”的軸對稱圖形可能是什么樣？

師：軸對稱圖形在我們身邊非常常見，也很有意思。比如，“上”的軸對稱圖形是——

生 （眾）：下。

師：“2”的軸對稱圖形是——

生 （眾）： 5。

師：“9”的軸對稱圖形是——

生 （眾）： 6。

生1：不對，是反著的 “6”。

生2： 是反著的 “9”。

師：剛才大家還異口同聲說是 “6”，怎么想法又變了呢？數字 “9”的軸對稱圖形到底是什么樣呢？

（生想象片刻，在學習單上畫）

展示學生作品1：

師：按照他畫的結果，想象一下，原來的“9”在哪呢？

生1：左邊，哦……不對。

生2：上邊。

生3：下邊。

生4：上邊、下邊都有可能。

師揭曉結果 （如下）：

生5：哦，原來的 “9”在上邊。

在作品1的基礎上，同時再展示學生作品2、3：

師：后兩種畫法行嗎？

生6：行。

師：同樣，這三種畫法都是原來的 “9”在上邊，有什么不一樣呢？

生6：對稱軸的位置不同。

（生上前補畫出每幅圖的對稱軸，如下）

展示學生作品4：

師：再想象一下，原來的 “9”在哪？

生1：左邊。

生2：右邊。

生3：左邊、右邊都可能。

師揭曉結果 （如下圖）：

師：“9”的軸對稱圖形還有可能是別的樣子嗎？

生1：我想到還有可能對稱軸是斜著的情況。

生2：同意，對稱軸斜著畫的情況也可以。

師：你們太厲害了，連對稱軸斜著的情況都想到了，課后可以試著畫畫這種情況。

這個學習活動的設計是讓學生先想象，再交流，然后才是操作，操作不再是機械的，而是對 “軸對稱”數學概念的再反思。這個開放的問題能引起學生對 “軸”的重視 （第一個活動無法達到這個效果），激發學生的多角度數學思考與空間想象，讓學生在思維的開闊性中提煉畫法，理解數學的核心本質，進而發展空間觀念。

活動三：以虛線為對稱軸，試著畫出這個圖形的軸對稱圖形。

師：以虛線為對稱軸，你能想象出這個圖形的軸對稱圖形嗎？試著畫一畫。

（生想象，在學習單上畫）

展示學生作品1：

生1：我是這樣畫的，圖形上面最左邊一點到對稱軸是3格，沿對稱軸向右數出3格，找到它的對稱點，圖形下面最左邊的點到對稱軸也是3格，沿對稱軸向右也數出3格，這樣就找到它的對稱點，然后按照原來的圖形，把對稱點連線就畫出來了。

生2：他畫錯了。它畫完后整個圖形是個平行四邊形，而我們知道，平行四邊形不是軸對稱圖形。

師：還有其他方法嗎？知道他畫錯了？

生3：對稱軸是斜的，不能看成豎直的直接畫。

生4：想象著沿虛線對折一下，兩邊的圖形不能完全重合。

師：哦，那我們一起在頭腦中想象著沿虛線對折一下，完全重合了嗎？

生 （眾）：沒有。

師：那么這個圖形的軸對稱圖形到底應該是什么樣呢？

生5：問題出在了對稱軸的方向上，只要把紙轉一下，讓對稱軸變成豎直方向就好畫了。圖形最上邊一點到對稱軸是1.5個格，它的對稱點在虛線右邊也應該是1.5個格。同樣，圖形最下邊的點到對稱軸也是1.5個格，它的對稱點在虛線右邊還是1.5個格。只不過這里的1格是以小方格的對角線長為標準的（如下）。

師：換個角度觀察可幫助我們想象、思考和解決問題。如果不轉紙，有辦法解決嗎？

生6：我是邊想象著翻折邊畫的，把圖形沿對稱軸翻折過去，最上面這個點是在對稱軸往左3格，它的對稱點應該從對稱軸向上也畫3格，同樣最下面這點的對稱點也是這樣找到，然后按照原圖形的樣子把對稱點依次連線，再想著對折驗證一下，看對稱軸兩邊的圖形能否完全重合。

生7：我是這樣想的，圖形最上面這條線和對稱軸的夾角是45°，它對稱過去的線也應該和對稱軸的夾角是45°，所以讓這條邊繞著軸上這個點順時針旋轉2個45°就得到對稱后的新邊，也就是向上畫3格的長度，最下面這條線對稱過去也同樣這樣畫，兩條對稱的線都畫出來后，再把這兩點連接起來就可以了（如下左圖）。而之前那種畫法它對稱過去那條線和對稱軸的夾角是135°了，45°和135°不對稱，所以畫錯了 （如下右圖）。

生8：我是先找原圖形上的關鍵點，然后沿著與對稱軸垂直的方向畫垂直線段，這點到對稱軸是1格半，垂直過去它的對稱點到對稱軸也應該是1格半，下面這點的對稱點也是這樣畫，再把對稱點順次連接起來 （如下）。

這個學習活動的設計是聚焦平行四邊形，對稱軸也不是水平或豎直的軸。此活動環節聚焦學生的問題，在認知沖突中再次明晰軸對稱的本質特征。學生在矛盾爭辯的過程中，對軸對稱的本質特征有了更深一層的認識，甚至有學生提到了要關注線和軸的角度，對圖形的構成元素以及元素之間位置關系對稱性的關注，這些正是空間觀念發展和培養的重要部分。

綜上所述，空間觀念的培養不是一件容易的事，也不是一蹴而就的事，又是一件非常重要的事。而無論是對空間觀念的審視，還是對空間觀念教學的思考，我們都要認識到 “想象”對學生的重要性。我們在 “圖形與幾何”領域的教學，要基于學生情況、學習內容，多思考、多實踐，思行相伴，設計有價值的學習活動，處理好低階思維與高階思維的關系，幫助學生更多地積累有關想象的思維活動經驗，以促進學生空間想象力的建立和發展，最終指向空間觀念這一核心素養的培養。