數學教學中的哲學味
——以“因數與倍數”教學為例

□荀步章

兒童是天生的哲學家。當代哲學家周國平說：“哲學不具備簡單意義的實用性，它是無形、無限與無定。如果把科學比作一片廣袤的大地，那么，哲學就是一片無限的天空。”如何培養小學生的哲學數學思考意識，引發他們追問 “從哪里來” “怎樣去找”“有何特征” “到哪里去”，數學教學應該有自己的回答，在反復追問與辯證理解中發展學生數學的綜合素養。筆者通過 “因數與倍數”一課想表達一點哲學數學的思考。

一、從哪里來

師：數學要研究 “數”，一年級開始，我們就學習自然數，自然數包括哪些數？

生： 0， 1， 2， 3， 4……

師：今天研究的數指不是0的自然數，叫非0自然數。

1.除法運算

師：數學要研究兩個數之間的關系，老師用兩個自然數做了幾道除法算式。

依次出示： 12÷2=6 8÷3=2……2 36÷9=4 19÷7=2……5 15÷15=1 1÷2=0.5

師：仔細觀察思考，誰來把這些算式分類？

學生嘗試分類：

第一類： 12÷2=6 36÷9=4 15÷15=1

第二類：8÷3=2……2 19÷7=2……5

第三類：1÷2=0.5

師：怎樣想的？

生：第一類算式中的每一個數都是自然數，第二類算式中都有余數，第三類算式中有小數。

師：特別研究第一類算式，像這樣，被除數、除數和商都是自然數，沒有余數。比如，12÷2=6，我們就可以說12是2的倍數，2是12的因數。也可以說，12是6的倍數，6是12的因數。

師：誰來說一說36÷9=4這道算式中因數與倍數的關系。

生：36是9的倍數，9是36的因數，36是4的倍數，4是36的因數。

生：15是15的倍數，15是15的因數。15是1的倍數，1是15的因數。

師：誰愿意出一道除法算式，讓其他同學說一說。

……

【反思】從一年級認識的一個自然數出發，學生很熟悉，接著，用兩個非零自然數做除法運算，尋找符合整除的算式，并聚焦這一類算式，被除數、除數和商都是整數，沒有余數，發現兩個數之間的因數與倍數關系，完全符合數論基礎。因數與倍數是相互依存的辯證關系，有因數就有倍數，有倍數就有因數，中間用 “與”連接。因數與倍數從哪里來，從整除運算中來。

2.圖形表示

師：用小方塊拼長方形，一排擺6個，擺2排，一共用了多少個小方塊，怎么算？

生： 6×2=12。

師：這道乘法算式里有因數與倍數關系嗎？

生：6和2都是12的因數，12是6和2的倍數。

師：這幅點子圖，怎么算？

生： 12×1=12。

師：誰來說一說，這道乘法算式中有因數與倍數關系嗎？

生：12和1都是12的因數，12是12和1的倍數。

師：這是一幅線段圖，怎樣求乙？

生： 4×3=12。

師：誰來說一說，這道乘法算式中有因數與倍數關系嗎？

生：4和3都是12的因數，12是4和3的倍數。

師：這些圖形中的數可以選0嗎？

生：不能，因為選0就不能構成圖形了。

師：這也說明了因數與倍數研究的是非0自然數。因數與倍數是從哪里來的？從乘法、除法運算中來，從圖形的表示中來。

【反思】亞里士多德說： “哲學是一切學問中最為自由的，因為它僅僅為了自身而存在。”因數與倍數是一種依存關系，通過整除運算讓學生理解還不完整，借助圖形表示，在乘法運算中同樣存在因數與倍數的關系。跳出除法算式，建構乘法意義的因數與倍數。這一組圖形數形結合，使學生進一步理解因數與倍數的意義。

二、怎樣去找

1.找12的因數

師：老師找了幾份研究單，一起來分享一下。

生：通過除法來尋找12的所有因數，從1開始，12÷1=12， 12÷2=6， 12÷3=4， 12 的 因 數 有1， 2， 3， 4， 6， 12。

師：朱同學找的非常好，掌聲表揚。他用了什么好方法？

生：按順序找。

生：按自然從小到大的順序。

生：用乘法算式來找的，1×12=12，2×6=12， 3×4=12， 12 的因數有 1，12，2，6， 3，4。

師：蔣同學找的也非常好，但她寫的因數沒有按自然數順序。

師： （電腦演示）第一步怎么找？用乘法或除法找。第二步怎么算？乘法先算1×12=12、2×6=12、3×4=12； 除法算 12÷1=12、 12÷2=6、 12÷3=4。 不論乘法還是除法都需要有序一一列舉。第三步怎么寫？先寫1和12，一前一后，再寫2和6，一前一后，最后寫3和4，這樣成對寫很快，而且有序。

怎么找？ 乘法 除法

怎么算？

1×12=12 12÷1=12

2×6=12 12÷2=6

3×4=12 12÷3=4

怎么寫？ 12的因數有1，2，3，4，6，12.

【反思】給學生問題挑戰，嘗試找出12的所有因數。學生受起始學習影響，部分學生用除法運算去找，還有學生用乘法算式有序找到12的所有因數，在具體寫出12的所有因數時，注意一前一后成對有序寫，學生感受到數學思考的理性與思辨。

2.分組找15、36、16的所有因數

師：第一組找15的所有因數，第二組找36的所有因數，第三組找16的所有因數。

先獨立完成，再與同學交流。

生： 用乘法找，1×15=15，3×5=15，15的因數有1，3，5，15。在數直線上圈出來。

生： 用乘法找， 1×36=36， 2×18=36， 3×12=36， 4×9=36， 6×6=36， 36的因數有1， 2， 3， 4， 6， 9， 12， 18， 36。這里的6有2次，為了不重復，寫一個就行了，并在數直線上圈出來。

生： 用乘法找， 1×16=16， 2×8=16， 4×4=16，16的因數有1，2，4，4，8，16。這里的4也有2個，我多寫了一次，應該去掉一個4。

師：這三位同學都用乘法有序找了一個數的因數。

【反思】在全班找12的所有因數的基礎上，放手讓學生自主探索一個數的所有因數，全班分3個小組，每人完成一個數，強化尋找的過程，按自然數順序一一列舉，強調相同因數只要寫一個，借助數形結合，把每個數的因數成對在數直線上表示出來，與寫因數的過程一一對應。

3.分組找2、3、5的倍數

師：帶著找一個數因數的方法，試著找一個數的倍數。第一組找2的倍數，第二組找3的倍數，第三組找5的倍數。

師：有什么問題嗎？

生：一個數的倍數有無數個，怎么寫？

師：一般寫出前6個，加上省略號。

學生一一找2、3、5的倍數。全班交流反饋。

生：用乘法算式一一列舉，1×2=2，2×2=4，3×2=6，等等，2的倍數有2，4，6，8，10，12……

生：用乘法算式一一列舉，1×3=3，2×3=6，3×3=9，等等，3的倍數有3，6，9，12，15，18……

生：用乘法算式一一列舉，1×5=5，2×5=10，3×5=15， 等等， 5的倍數有5，10， 15， 20， 25， 30……

師：怎樣去找一個數的因數呢？

生：用自然數1、2、3……與它相乘，很快就能找到一個數的倍數。

【反思】找一個數的倍數學生很容易，以找一個數因數為基礎，用乘法計算，從自然數1開始，依次與這個數相乘，口算思考都簡單。這里主要解決寫多少、怎么寫的問題。學生開始就有疑惑，一個數的倍數無限個，怎么辦呢？按規定寫出6個，加上省略號，表示無限多。

三、有何特征

師：電腦呈現，回顧找一個數因數的過程。

15的因數有1，3，5，15

36的因數有1， 2， 3， 4， 6， 9， 12， 18， 36

16的因數有1，2，4，8，16

師：仔細觀察每一個數的因數，有何特征？

生：一個數的因數中最小是1。

生：一個數的因數中最大的是本身。

師：15有幾個因數？36和16呢？

生：4個、9個和5個。

師：一個數的因數個數是有限的還是無限的？

生：有限的。

師：再一起回顧找一個數的倍數過程。

2的倍數有2，4，6，8， 10，12……

3的倍數有3，6，9，12，15，18……

5的倍數有5，10，15，20，25，30……

師：仔細觀察一個數的倍數，有何特征？

生：一個數的倍數中最小的是它本身。

生：一個數的倍數沒有最大的，因為自然數有無數個。

生：一個數的倍數個數是無限的。

師：思考一下，找一個數的因數和倍數有什么相同點和不同點？

生：相同之處是因數和倍數都是從乘法、除法的角度去尋找，有序地找，因數、倍數中都有本身。

生：不同之處，一個是從本身開始向內找，有限個；一個是從本身向外找，無限個。

課件呈現：

師：我們研究了因數與倍數，表示兩個數的相互依存關系。一是從哪里來？整數乘法、除法運算和圖形表示中都可以找到因數與倍數。二是怎樣去找？用乘法或除法去找，有序找，成對找。三是有何特征？一個數的因數個數是有限的，在1到它本身之間；一個數的倍數是無限的，從它本身開始，沒有最大的。還有一個問題需要思考，就是 “到哪里去”。

【反思】學生通過探索學會了找一個數的因數和倍數，回顧反思，列舉15、36、16的所有因數，發現一個數的因數最小的是1，最大的是它本身，個數是有限的，還相機呈現維恩圖的表示方法、數直線的表示方法，多元表征形象理解。再回顧尋找2、3、5的倍數過程，發現一個數的倍數最小是它本身，最大的不存在，個數是無限的。辯證思考理解，找一個數的因數由本身向內尋找，而找一個數的倍數是由本身向外尋找。

四、到哪里去

1.生活中

師：生活中有關于求一個數的因數與倍數的問題嗎？

問題一：乘坐小船每人應付4元，填寫表格。

師：怎么填？

生： 12， 16， 20， 24……

師：這是求一個數的倍數，還是因數？

生：求一個數的倍數。

問題二：24個學生表演團體操，填寫表格。

師：怎么填？

生： 8， 6， 4， 3， 2， 1。

師：這是求？

生：求一個數的因數。

2.數學中

師：數學中求一個數的因數還有研究，老師想給大家介紹一個特別的數6。6的因數有哪些？

生：1， 2，3， 6。

師：除去6本身，把剩下的因數相加。你發現了什么？

生：結果還是等于6。

師：這樣的數很特別，數學家們將具有這一特點的數稱之為完美數。6就是第一個完美數。想知道第二個完美數是多少嗎?

生：想!

師：透露一下，比25大，比30小。

組內分工合作，看看哪一小組最先找出第二個完美數!

學生很快找出了第二個完美數28。

師：其實，人們對于完美數的探索興趣是永無止境的，找到了第二個完美數，人們就開始尋找第三個、第四個，看……

師：想一下，要找出這些完美數來，有什么感覺？

生：我覺得太了不起了！

生：這需要付出多大的艱辛呀!

師：究竟是什么力量，吸引著一代又一代數學家為此付出畢生的心血呢？

生：是完美數本身。

生：是他們對于數學的熱愛。

生：對于數的好奇心。

師：數學王子高斯說過，數學是自然科學的皇后，數論則是數學的皇冠。今天時間有限，我們只看到了皇冠上一粒小小的珠子，但只要我們沿著這條路走下去，一定會收獲很多東西。同學們，努力吧！未來屬于你們！

【反思】學生學完因數與倍數后，心中會有疑惑，因數與倍數有什么用？這里從兩個方面進行延伸，一是從生活中的問題入手，如坐船付錢問題是求一個數的倍數，團體操表演問題是求一個數的因數；二是從數學本身出發，找出一個數的因數，除去本身，把剩下的數相加，若等于它本身，這個數就是完美數，進行數學探究精神的教育，引發學生熱愛數學的興趣。

【整課反思】本課想體現一點哲學數學的味道，通過 “為什么、是什么、怎么辦”的追問，讓學生整體理解因數與倍數的相互依存關系。為什么要研究？怎么研究？還有什么？除此之外，我們還想體現一點其他味道：

一是 “數學味”。從例題改編出來，強調直觀，從非0自然數引入，探索整除算式，數形結合思考，一一有序列舉策略等，想呈現一種數學味。

二是 “兒童味”。讓學生在個人獨立探索一個數的因數與倍數，小組交流、全班展示的過程中發現一個數因數與倍數的特征，讓兒童自主生長發展，促進學生學習能力的提升。

三是 “問題味”。杜威說： “教育中永遠成功的教學方法是，給學生一些事情去做，不是給他們一些東西去學。”學生探究找12的所有因數，在思考與交流中提升，對比發現一個數因數與倍數特征的異同，追尋數學問題橫縱聯系。

四是文化味。因數與倍數是同時存在的，誰也離不開誰。除法算式關系如何表示？乘法算式關系如何表示？如何求出一個數因數與倍數，由本身向內、由本身向外尋找的方法，慢慢體會兩者的關系，滿足不同學生學習差異需求。

正如俞正強老師在 《人民教育》2017年第10期開篇一文所說， “干所有的事情，都要先明白我要干什么，上課亦是如此。”