導數在經濟中的一些簡單應用

摘 要：導數是微分學中一個非常重要的概念，它反映的是函數相對于自變量的變化快慢的程度。本文先簡單介紹導數的定義，然后通過一些例子說明導數在經濟中的一些簡單應用。

關鍵詞：導數；目標函數；最大利潤

導數是微分學中一個非常重要的數學概念，它反映的是函數相對于自變量來說的變化快慢程度。導數的思想最初的時候是由法國數學家費馬為研究極值問題而引入的，費馬在他的著作《求最大值和最小值的方法》中談到了切線法，這種方法本質上就是我們后來所說的導數的思想。與導數的概念直接相聯系的是以下兩個實際問題：已知物體的運動規律求其速度和已知曲線求它的切線。這是由英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲分別在研究力學和幾何學的過程中建立起來的。可以說牛頓和萊布尼茲這兩位偉大的數學家建立了微積分學，使得微積分不再是古希臘幾何學的附庸和延展，而是一門獨立的科學。

下面我們先給出導數的定義。設函數y=f（x）在點x0的某鄰域有定義，如果極限（1）存在，則稱函數f（x）在點x0處可導，并稱該極限為函數f（x）在點x0處的導數，記作 f′（x0）。如果極限（1）不存在，則稱函數f（x）在點x0處不可導。

導數的概念實際上就是函數相對于自變量來說的變化快慢程度，它是函數變化率這個概念的精確描述。它拋去了自變量和函數所代表的實際意義，不管它們所代表的物理或者幾何等方面的特殊意義，純粹從數量關系這個方面來刻畫函數變化率的本質。導數f′（x0）反映了函數f（x）隨自變量x的變化而變化的快慢程度。因此，路程關于時間的導數是物體運動的瞬時速度，曲線y=f（x）的導數是曲線的切線的斜率。

在實際生活中，經常會碰到這樣的問題，在一定條件下，怎么樣才能使成本最低、利潤最高、用料最省等等這類問題。這類經濟問題在數學上可以歸結為求目標函數的最大值和最小值問題。這類經濟問題可以利用導數來解決。假設目標函數y=f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內除去有限個不可導點外其他的點都可導，并且至多只有有限個導數為零的點。在這樣的假設條件下，我們來討論目標函數f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的求法。

連續函數y=f（x）在一個開區間內的最大值或者最小值一定是它的一個極大值或者極小值。因此，在函數f（x）在開區間內除去有限個點外可導且至多只有有限個導數為零的點這個前提條件下，若函數y=f（x）在開區間內一點x0處取得最大值或者最小值時，一定有f′（x0）=0或者 f（x）在點x0處不可導。另外，連續函數f（x）的最大值和最小值也有可能在區間的端點處取得。因此，我們首先求出函數f（x）在區間（a，b）內的導數f′（x），找出導數為零的點和導數不存在的點，計算這些導數為零和導數不存在的點處的函數值，然后再與端點處的函數值f（a）和f（b）做比較，這些函數值中的最大值便是目標函數f（x）在[a，b]上的最大值，這些函數值中的最小值便是目標函數f（x）在[a，b]上的最小值。

下面我們通過幾個實例來說明導數在這類經濟問題中的應用。

【例1】 假設一個工廠生產某種產品x千件的成本是 C（x）=x3-6x2+15x，賣出該產品x千件的收入是R（x）=9x。問該工廠生產多少件產品時能取得最大的利潤。

解：由題目條件可知，賣出該產品x千件所獲得的利潤是L（x）=R（x）-C（x）=-x3+6x2-6x，x≥0。

上述利潤函數是可導的，導數為L′（x）=R′（x）。

令L′（x）=0，即R′（x）=C′（x）時，得x=2±2。

當x<2-2時，L′（x）<0，L（x）在（-∞，2-2）單調遞減；

當x∈（2-2，2+2）時，L′（x）>0，L（x）在（2-2，2+2）單調遞增；

當x>2+2時，L′（x）<0，L（x）在（2+2，∞）單調遞減；

因此，L（x）在2-2處取得最小值，在2+2取得最大值。即該工廠生產2+2千件產品時將獲得最大利潤，而生產2-2千件產品時將會發生局部最大虧損。

在經濟學中，稱C′（x）為邊際成本，R′（x）為邊際收入，L′（x）為邊際利潤。這個例題說明，當邊際成本等于邊際收入時，即C′（x）=R′（x）時，廠家將會獲得最大利潤。這也說明并不是產量越多利潤越大，產量越小利潤越少。

【例2】 一房地產公司有50套公寓要出租。當房租定為每月4000元時，公寓會全部租出去。當每月房租每增加200元時，就會多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花費400元的維修費。問房租定為多少時該公司能獲得最大的利潤。

解：設每套公寓房租為x元（x≥4000），則公寓租不出去的公寓套數為x-4000200=x200-20，租出去的套數為50-x200-20=70-x200，租出去的每套公寓除去維修費將獲利x-400元，因此總利潤為L（x）=70-x200（x-400）=-x2200+72x-28000，上述利潤函數是可導的，導數為L′（x）=-1100x+72。

令L′（x）=0，得x=7200。當x<7200時L（x）單調遞增，當x>7200時L（x）單調遞減，因此，L（x）在x=7200時取得最大值。即當每套公寓的房租為7200元/月時，該地產公司能獲得最大利潤。此時，每個月能租出去34套公寓，得到房租244800元，除去這些公寓的維修費用13600元，該公司能獲得最大利潤231200元。雖然該公司還有16套公寓沒有租出去，但是它能獲得最大的利潤。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].高等教育出版社，2001.

作者簡介：

彭峰集，湖北省武漢市，湖北工業大學理學院。