積分求解與幾何之間的關系

◎趙一珺

(長沙市長郡中學，湖南 長沙 410002)

積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問題中，在古中國、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學文獻中都涉及了這類問題的思想和方法.如，古希臘的阿基米德(公元前287—前212年)用邊數(shù)越來越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱為“窮竭法”.中國魏晉時代的劉徽在其《九章算術注》(公元263年)中，對于計算圓面積提出了著名的“割圓術”，他解釋說：“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”這些都是原始的積分思想.

積分是微積分學與數(shù)學分析里的一個核心概念.通常分為定積分和不定積分兩種.直觀地說，對于一個給定的正實值函數(shù)，在一個實數(shù)區(qū)間上的定積分可以理解為在坐標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值(一種確定的實數(shù)值).

一、定積分與面積

可以抽象出積分的原型為求解曲邊梯形的面積.

曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)，x軸與兩條直線x=a，x=b所圍成.

曲邊梯形的面積的解決思路：利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時，可概括為“分割—取近似—求和—取極限”的步驟.

第一步：分割.將曲邊梯形的底，即[a，b]進行分割(用垂直于x軸的直線)，記Δxi=xi-xi-1.

第二步：取近似.取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積ΔSi=f(ξi)Δxi.

第三步：求和.將每個小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來.

第四步：取極限.當對曲邊梯形底的分割越來越細時，矩形面積之和越近似于曲邊梯形面積.

曲邊梯形面積的近似值為

當分割無限增加，即小區(qū)間的最大長度λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}趨近于零(λ→0)時，曲邊梯形的面積為

二、積分幾何意義的運用

由積分的計算過程可以得知，積分的幾何意義是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a，x=b之間的各部分面積代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負號.

下面利用定積分的幾何意義來求解問題.

解由定積分的幾何意義得：求函數(shù)積分即為求該函數(shù)在[0，1]上f(x)與x軸所圍成的面積，如圖所示.求解面積即可.

在不等式的證明中，可以根據(jù)不等式中函數(shù)的特點，結合積分的幾何意義，解決證明問題.

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