全國卷壓軸題中含參數不等式問題的兩種解法

郝安軍

陜西安康市江北高級中學 (725000)

含參數不等式問題是歷年高考考查的熱點、難點.下面就2016年全國課標卷Ⅱ文科數學第20題及2017年全國課標卷Ⅱ文科數學21題闡述這類試題解答的兩種方法；參數和變量分離法(簡稱參變分離)及數形結合法.

(2017年全國卷文科Ⅱ)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

(2)解法一數形結合法

圖1

f(x)=(1-x2)ex,f′(x)=(1-2x-x2)ex,而f″(x)=ex(-1-4x-x2),當x≥0,f″(x)≤0,所以f(x)在區間上是凸函數，由第一問可作出y=f(x)的圖像，如圖1.

f(x)≤ax+1可轉化為y=f(x)和y=ax+1,當x≥0時，y=f(x)在y=ax+1圖像的下方，函數y=f(x)和y=ax+1都過點A(0,1)，直線y=ax+1與函數f(x)=(1-x2)ex極限位置是直線和曲線相切時，f′(x)=(1-2x-x2)ex.由f′(1)=1,則直線斜率a=1,由圖可知a≥1.

方法二參變分離

當x=0時，f(x)=(1-x2)ex≤ax+1,即1≤0·a+1,此時a∈R;

(2016年全國課標卷Ⅱ文科數學20題)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(Ⅰ)當a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若當x∈(1,+∞)時，f(x)>0，求a的取值范圍.

(Ⅱ)(方法一)數形結合(分離直線).

f(x)>0,則有(x+1)lnx>a(x-1),令h(x)

圖2

直線y=a(x-1)應在函數h(x)=(x+1)lnx下方,在(1,0)處相切時a取得最大值,h′(1)=2,所以a≤2,則a的取值范圍(-∞,2].

(方法二)參變量分離.