重要不等式在初中聯賽題中的應用

林秋林

廈門大學附屬實驗中學 (363123)

1.求最值

例1 已知非負實數x,y,z滿足x+y+z=1，則t=2xy+yz+2zx的最大值為( )．

(2014年全國初中數學聯賽試題)

例2 若實數x,y滿足x3+y3+3xy=1，則x2+y2的最小值為__________．(2017年全國初中數學聯賽試題)

例3 已知實數x,y滿足關系式xy-x-y=1，則x2+y2的最小值為( )．

(2015年全國初中數學聯賽試題)

2．限定范圍求值

例4 已知正整數a,b,c滿足：1

(2014年全國初中數學聯賽試題)

解析：不妨設(a,c)=d，其中a=da1,c=dc1且(a1,c1)=1．則由b2=ac=d2a1c1，可知d2|b2，即d|b．故設b=db1，從而b1=a1c1．又由a+b+c=111，可得d(a1+b1+c1)=111．故d|111，易知a1+b1+c1>3，于是d=1或d=3．

此時a=m2=1與a>1矛盾，舍去；解一元二次方程x2-12x+33=0，可知其無整數根，故舍去．

例5 已知實數a,b,c,d滿足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6，求(a2+b2)(c2+d2)的值．

(2013年全國初中數學聯賽試題)