“圓”形畢露
——例談軌跡思想在解題中的應用

張文海

江蘇省蘇州實驗中學 (215100)

最值問題一直是高中數學教學中的重點內容，同時也是各地高考的熱點問題，在高考中占有舉足輕重的地位.它具有多元化、廣泛性、滲透性的特點，可以說分布在高中數學各個知識點與知識層面中.解答最值問題時,要求學生熟練掌握高中各知識模塊的基礎知識，綜合運用各類數學思想與技能，靈活選擇合理的角度和方法.本文筆者根據自身教學實踐，從軌跡思想的角度分析探討處理高中數學一類最值問題的處理方法，希望能給讀者帶來一定的幫助.

分析2:根據向量的代數屬性，聯想到條件和問題用坐標表征，將向量問題轉化為代數問題進行處理．

分析1:大多數同學會根據余弦定理及三角形的面積公式，把ΔABC的面積表達為某個自變量的函數，再利用函數的思想求出該函數的最大值．

評注：對比兩種解法，思路1是研究最值問題的通性通法，思路2把代數問題幾何化，利用幾何性質，有效地減少了運算量，快速地解決了問題.

分析1:根據向量的代數特征，遇到向量模的問題常通過設出點的坐標來表示模.

分析2:根據向量加法的平行四邊形法則，可知四邊形PMQN是矩形.

圖1

圖2

例4 在ΔABC中，點D在邊BC上，且DC=2BD，AB∶AD∶AC=3∶k∶1，求實數k的取值范圍.

分析1:設BD=x，則DC=2x，因為∠BDA+∠CDA=π，所以

cos∠BDA+cos∠CDA=0，即

圖3

分析3:如圖3,設AB=3，AC=1,AD=k，以點C為原點，線段AC所在直線為x軸建立直角坐標系xCy，則點A的坐標為(1,0)，因為AB=3，所以點B在以點A為圓心，3為半徑的圓上，圓的方程為(x-1)2+y2=9(*).

圖4

圖5

圖6

思路決定出路，思維的高度決定解題的長度．縱觀近幾年高考試卷中的解析幾何題目,其涉及面廣、綜合性強、背景新穎、靈活多樣,解題策略較多,滲透著多種數學思想和方法.當動點在一定的條件下運動變化時，研究動點的軌跡是對動點運動結果的一種深刻理解，明確動點的軌跡之后再利用軌跡的幾何性質研究最值問題，就有軌可依，有跡可循，往往可以起到另辟蹊徑、化繁為簡的作用．