幾道2017年國(guó)外數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的優(yōu)雅證明

彭小奇

江西省萍鄉(xiāng)市湘東中學(xué) (337016)

本文旨在給出幾道最新的國(guó)外數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的優(yōu)雅證明，里面滲透了命題人和答題者的許多心思和智慧，供讀者學(xué)習(xí)和玩味.

注1：此題平而不俗，此證非常大氣.

注3：證明1是分析法開道，綜合法書寫.證明2充分體現(xiàn)了答題者代數(shù)變形的功力.

注4：不等式研究弘揚(yáng)的是不斷嘗試、堅(jiān)定探索的科學(xué)精神.

注5:此證看似簡(jiǎn)單，但含金量很高，值得細(xì)細(xì)品味.

注6:不等式證明方法中蘊(yùn)含著豐富的辯證法思想.

例7 (2017年以色列數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c是滿足a2+3b2+7c2=11的非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：2b+6c+abc≤9.

證明：因?yàn)閍2-1,b2-1,c2-1中必有兩個(gè)不同時(shí)大于零或者不同時(shí)小于零，故不妨設(shè)(a2-1)(b2-1)≤0，于是a2+b2≥a2b2+1，a2+b2+c2-2abc≥a2b2+c2-2abc+1≥1，1≤a2+b2+c2-2abc=a2+3b2+7c2-2(b2+3c2+abc),1≤11-2(b2+3c2+abc)，∴b2+3c2+abc≤5，2b+6c+abc≤b2+1+3(c2+1)+abc≤9.