斗轉(zhuǎn)星移:坐標平移在圓錐曲線問題中的應用

郝培德 邵建

浙江省杭州學軍中學 (310012) 浙江省衢州第二中學 (324000)文

圓錐曲線是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學必考的一個知識點.一般地，在處理直線與圓錐曲線的位置關系時，我們通常會聯(lián)立兩者的方程，得到關于某個變量x(或y)的一元二次方程，然后得到一組韋達定理.在大多數(shù)情況下這樣的計算是相當復雜的，因此學生常常感到難以應對，算不出所以來.近日筆者在高三的復習教學中發(fā)現(xiàn)，如果適當?shù)刈髯鴺似揭疲⑶捎谩?”的代換，能使一類圓錐曲線題得到簡單的解法，可以說是“別有一番滋味”.下面筆者就通過2017年全國卷上的高考題來舉例說明，并用此解法作了三個拓廣，供參考.

一、考題再現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

設直線l對應的直線變?yōu)閘′，方程為mx′+ny′=1.②

(1)求直線AB的斜率；

(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

解：(1)易得kAB=1.

在教學過程中，筆者試著對題目的條件進行了變式，但仍用上述的方法，得到了以下三個推廣結(jié)論.

二、考題拓廣

若我們考慮把例1中的條件“直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1”改為“直線P2A與直線P2B的斜率之積為-1”，那么直線l是否仍過定點呢？

設直線AB對應的直線變?yōu)锳B′，方程為mx′+ny′=1.②

若我們考慮把橢圓換成更一般的圓錐曲線，且動弦PA,PB相互垂直，則直線AB又具有怎樣的特點呢？

命題3 已知P(x0,y0)為圓錐曲線Γ上的任一定點，PA,PB為動弦，且PA⊥PB,則直線AB為一簇平行直線或是過定點的直線系.

(1)若A+B=0,且C=0,則直線AB的方程為x=0；

(4)若A+B≠0,但C=0,則直線AB的方程為x=0.

[1]傅建紅.一類悄然升溫的“嵌套函數(shù)”零點相關問題例談[J].中學數(shù)學研究(江西),2013(12):10-12.