借助退化雙曲線，巧解兩道高考壓軸題

黃永生 吳寶樹 楊 丹

福建省泉州市第七中學(362000)

解析幾何中，退化雙曲線可以表示兩條相交直線.反之，兩條相交直線也可以用退化雙曲線來表示.本文嘗試借助退化雙曲線來解決2017全國Ⅰ卷理科數學和文科數學試卷中的兩道解析幾何題，以期對讀者有所幫助.

(Ⅰ)求C方程.(Ⅱ)設直線l不經過P2點，且與C相交于A,B兩點，若直線P2A和P2B的斜率之和為-1，證明：l過定點.

此方程的解為橢圓與退化雙曲線的三個公共點P2,A,B的坐標.又P2(0,1)，當y≠1時，方程(＊)即為：4k1k2(1+y)+(1-y)-x=0，此方程即為直線l的方程，所以l必過定點(2,-1).

(Ⅰ)求直線AB的斜率；

(Ⅱ)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．

解：(Ⅰ)直線AB的斜率為1.過程略.

由(Ⅰ)可知直線AB的斜率為1，于是令k1+k2=2，所以直線AB的方程為:x-y+7=0.

通過以上解題過程，不難發現，兩條直線“相交”可以構造退化雙曲線.借助退化雙曲線，可以優化試題的解題過程，簡化運算，使一些曲線方程的求解問題巧妙解決.

[1]黃永生,楊丹.2015年高考福建文科數學卷第19題(Ⅱ)的探究與推廣[J].福建中學數學，2016(2):11-12.