漫談多元函數最值問題的求解策略*

劉奕辰 郭建華(指導教師)

江蘇省南京市第二十九中學高三(6)班 (210036)

在高三數學復習中，多元函數的最值問題是一種常見的題型，它常常融合函數、不等式、三角函數、解析幾何等知識，一般具有綜合性強，思維量大，技巧性強等特點，是學習中的一個難點.在學習過程中要不斷反思、歸納和總結求解策略，以此探究解題規律，揭示解題方法，形成解題技能.

一、構造方程法

例1 設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為__________．

點評:由x，y為實數，將目標函數整體代換，即t=2x+y，把題設條件轉化為關于變量t的一元二次方程，由于該方程有解，因此借助于其判別式求解.

二、基本不等式法

例2 在ΔABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2+b2+2c2=8，則ΔABC面積的最大值為__________．

點評:由題設條件a2+b2+2c2=8的形式，以及求解的目標，自然想到用余弦定理，選擇適當的形式再次表征三角形三邊a，b，c間的數量關系，通過對a，b，c關系式的適當整合把三角形的面積表示成角C的三角函數，從而將多變量問題轉化成單變量的函數最值問題，從而問題破解.

三、換元變換法

四、分離變量法

例4 若不等式x2-2y2≤cx(y-x)對任意滿足x>y>0的實數x，y恒成立，則實數c的最大值為__________．

點評:變量分離法是高中數學解題的一種常規的、有效的方法，其實質是利用函數與方程的思想，將方程、不等式的有解及恒成立問題，轉化為相應的函數的值域與最值問題.

五、變更主元法

點評:對于求解一類含參方程f(a,x)=0(a為參數)自變量x被限定在某個范圍有解問題，如果從正面求解實數a的范圍要面臨很繁瑣的討論，那么就把a當做主元來求解，即令a=g(x)，轉換為求函數a=g(x)關于自變量x的值域問題.即對于某些問題當利用主元難以求解時，可以考慮從次元出發(即化客為主)，并把主元放在次元的位置上進行處理，實施戰略轉移，其實它是一種換位法，體現了向對立面轉化的特點.

六、待定系數法

例6 已知x,y,z∈(0,+∞)，且x2+y2+z2=1，則3xy+yz的最大值為__________．

點評:待定系數法待定系數法是指將目標多元代數式用條件中已有的多元代數式結合必要的待定系數表示出來，再按照一定的解題技巧求出待定系數，進而使目標求解.

七、數形結合法

<1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立．

圖1

點評:通過換元，聯想其題設條件和目標函數所蘊含的幾何意義，轉換成線性規劃問題，再借助于導數的幾何意義求解目標最值.

因此，在以后的學習中對多元函數的最值問題，應采取多方位、多角度、多途徑進行觀察和思考，不斷總結求解多元最值函數的方法和技巧，這些方法和技巧并不是孤立的，而是互相聯系和滲透，因此要認真領悟每種方法背后的實質，才能達到舉一反三，應用自如．