內(nèi)設(shè) 外求 圖相助
——一類復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的判斷

陳和平

安徽省安慶市第二中學(xué) (246000)

近幾年比較流行一類高考數(shù)學(xué)試題，形如y=f[g(x)]的復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的判斷，由于其計(jì)算量小、數(shù)學(xué)思想方法豐富、很深的思維層次.因此具有較好的選拔功能，試題通常作為高考小題的壓軸題，受到命題者的青睞，題型有求方程解的個(gè)數(shù)及求參數(shù)取值范圍.本文從解決此類問題過程、包含的思想、解題策略中提煉出幾個(gè)關(guān)鍵詞“內(nèi)設(shè) 外求 圖相助”與大家共享.

題型1 (2013年安徽理科高考)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)=x1

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

研究該題必須弄清幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).首先，理解復(fù)合函數(shù)的概念，設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈A，y=g(x),x∈B且g(x)∈A則稱函數(shù)y=f[g(x)],x∈B為復(fù)合函數(shù)，通常y=f(x)稱為外函數(shù)，y=g(x)稱為內(nèi)函數(shù).其次，理解函數(shù)的零點(diǎn)(方程的解、兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn))的概念.

圖1

解題分析：設(shè)f(x)=t，則g(t)=3t2+2at+b.由題意知：f′(x)=3x2+2ax+b導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為x1，x2(t=x1,x2)也就是y=f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn).所以方程f(x)=x1及f(x)=x2解的個(gè)數(shù)(情況)進(jìn)行分析，借助y=f(x)的圖像與直線y=x1,y=x2的交點(diǎn)個(gè)數(shù).不難看出，該題的選項(xiàng)為A.

特別強(qiáng)調(diào)的是，由于通過換元，關(guān)于方程3t2+2at+b=0的解有兩個(gè)x1，x2(x1

解題時(shí)將復(fù)雜的問題化歸為簡單的問題，不熟悉的問題化歸為熟悉的問題.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想認(rèn)清問題的本質(zhì)，采取各個(gè)擊破，找到思維的突破口.

圖2

解題分析：設(shè)f(a)=t,則f(t)=2t.由分段函數(shù)得出f(t)=2t約束t的取值范圍，得出滿足方程f(a)=t有解時(shí)a的取值范圍.

反思：2018屆畢業(yè)班的復(fù)習(xí)迎考工作正在展開，課堂教學(xué)工作應(yīng)扎實(shí)有效，就需要畢業(yè)班的老師探究不同的教學(xué)模式和更新教學(xué)理念.重講題型不注重思想方法的滲透，學(xué)生的思維能力就得不到提高和升華.追求課堂容量而不花時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生分析問題的本質(zhì)，學(xué)生的解題能力得不到鍛煉，因此復(fù)習(xí)課的課堂需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”，從而自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析、解決問題，提高思維的深度和廣度.真正做到“解一題、通一類、會(huì)一片”的高效復(fù)習(xí).