細節處窺見本質理解
——以“函數的表示方法”教學為例

◎呂小燕

(江蘇省南京市臨江高級中學，江蘇 南京 211100)

“函數的表示方法”第一課時，高中數學教材蘇教版必修一共介紹了三種表示方法(列表法、圖像法、解析式法)和兩道例題.學生在初中已經接觸過函數的三種表示方法，那么進入高中，“函數的表示方法”究竟還有什么可教的呢？怎樣教呢？學生理解這三種表示方法，會做這兩道例題，并不是難事.但是，如果站在深度學習、本質理解的角度思考，“簡單的內容”教學并不簡單：函數還有其他的表示方法嗎?這三種表示方法各有什么優缺點?它們之間能相互表示嗎?怎么求函數的解析式呢？本節內容的學習能滲透哪些數學思想方法?能培養學生的哪些數學技能？

筆者認為，“函數的表示方法”教學，應著眼于學生在初中階段與高中階段認知上的“落差”，精心設計典型素材，充分暴露學生的思維錯誤或障礙，自然激發學生的思維沖突，立足于讓學生親歷嘗試、對比、說理、辨析、領悟的過程，以完善自己對函數概念的認知、提高自己的數學能力.現將筆者上課的主要環節概述如下：

細節1 幫助學生理解函數表示中定義域的“不可或缺”，從整體上把握函數的三要素.

例1某種飲料單價是2元/聽，購買x(x∈{1，2，3，4，})聽這種飲料需要y元，你能用初中學過的方法表示函數y=f(x)嗎？

從實際情況來看，對于解析法，很多學生此時并沒有意識到要在表達式y=2x的后面注明定義域；對于圖像法，也有不少學生很自然地將描出的點連成了直線.對此，筆者并沒有匆忙給出結論，而是針對不同做法之間的區別，引導學生進行他評、自評并說明理由，使學生領悟到：定義域與對應關系是一個整體，構成了函數的“左膀右臂”，切不可“厚此薄彼”.

接著給出下面兩個變式：

變式1 設某種食品的單價是2元/千克，買x(x∈(1，4])千克這種食品需要y元，若用上述三種方法表示函數y=f(x)，結果有什么不同嗎？為什么？

變式2 設某種食品的單價是2元/千克，買x千克這種食品需要y元，若用上述三種方法表示函數y=f(x)，結果有什么不同嗎？為什么？

這里，仍是由學生獨立作答，教師組織評價，以進一步強化學生的“定義域意識”.同時回顧了函數的三要素，進一步揭示了同一函數的概念.

細節2 感受函數表示中對應關系的“不拘一格”，正確認識分段函數.

圖1

例2根據函數圖像寫出函數的解析式.

分段函數是本節課的難點，對基礎較差的學生來說尤為如此.在巡視交流時，教師發現，絕大多數學生對題意理解不成問題，但還是出現了不少錯誤.

基于此，提出了以下問題串：

問題(1)：該圖像對應幾個函數？函數的定義域是什么？

問題(2)：x取0時相應的y值是多少？有幾個？

問題(3)：x在哪個范圍內取值時，y=2？

最后總結得出：“分段函數，分而治之；合中有分，分中有合”.

細節3 理解函數概念，體會抽象函數解析式的求法.

本環節設置了兩道練習：

(1)已知f(x)=2x+1，求f(3x+1)；

(2)已知f(3x+1)=6x，求f(x).

從課堂觀察來看，第一問學生回答得較為順利并總結出方法代入.但是當把第二問呈現出來時，則遇到了一些“障礙”，學生感到很困惑，教室里甚至出現了一些爭執的聲音.從這里也可以看出學生的第一問也只是會而不懂.

圖2

教師繪制了圖2，引導學生分別指出第一問的輸入值，對應法則，輸出值.學生理解了第一問的題意，即已知輸入值和對應法則，求輸出值.從而學生類比得出第二問是已知輸入值3x+1，輸出值6x，反過來求對應法則.

基于本節課的教學，不禁反思如何抓住課堂細節，引導學生深化理解數學的本質，提升思維品質.

一、捕捉課堂教學契機，巧妙引導

其實民主的課堂經常會出現學生提出問題的現象，那是由于他們在學習中產生了新舊經驗間的矛盾沖突，這反映出學生正在積極思考.尤其是學生在自主學習、合作討論、互動對話后提出的問題更反映出其由表及里、由淺入深的學習狀態.這時產生的問題往往更具動態性、深刻性和創新性，是非常珍貴的課堂動態資源.面對這樣意外的細節我們要敏銳地發現其中蘊含的教學價值，接住學生拋來的球，隨機調整思路并積極引導學生展開探究，再把球拋給學生，創設激發學生求知欲的境界，挖掘出絕妙的教學契機，從而生成新的教學過程.

二、捕捉學生意外錯誤，提煉頓悟

學生在學習過程中發生的種種錯誤教師是難以一一預測的.教師不能為執行教案而按部就班，必須對學生這些認知錯誤現場做出價值判斷并決定如何進行糾錯，生成有效的教學資源.新課程背景下的學生無疑是學習和發展的主體，激發他們的主動意識和進取精神顯得尤為重要.教師不再是課堂的主角、控制者，而是課堂資源的重組者、動態生成的推進者.因此，當學生答問錯誤時，教師既不能奉送“真理”也不能聽之任之，而應該利用學生錯誤中的可利用因素或追問暗示，引導學生發現錯誤及時糾正，即以學生錯誤答案為前提，推衍出荒謬的結論，讓學生在前因后果的矛盾中頓悟，那么即使是錯誤也變得異常美麗.

三、及時調整教學思路，突破常規

學生已有的知識也是阻礙學生思維發展的一個因素，因為學生覺得自己已經掌握但是是否真的懂了呢.古語云：“學起于思，思源于疑”.教學中，根據學生的實際情況，有計劃有針對性地提出有一定思考量的問題，誘發學生思考的熱情，激發學生旺盛的求知欲望，啟迪學生的思維，使學生主動地分析問題、解決問題，讓學生的思維更加深刻，形成他們新的能力！

課堂教學中的細節時刻都在發生、發展和變化著，如果在細節發生的瞬間，教師能敏銳地捕捉并發現它們的價值，巧妙點撥，適當鼓勵，合理引申，便能窺見本質，從而提升學生的思維品質.