是“雪中送炭”，還是“錦上添花”？
——在數學解題教學中要辯證地看待“通法”與“巧法”

◎丁海茵

(佛山市三水區實驗中學，廣東 佛山 528000)

我們知道，數學是關于數與形的科學，數與形的有機結合是數學解題的基本思想.數學是關于模式的科學，這反映了在數學解題時，需要進行“模式識別”，需要構建標準的模型.往往遇到的問題是標準模型里的參數是需要待定的，這說明待定系數法屬于解題的通性通法.數學是一種符號，引入符號可以將自然語言轉換為符號語言，通過中間量的代換，就能將復雜問題簡單化.數學解題就是一系列連續的化歸與轉化，將復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化，其消元、減少參變元的個數是常用的方法.在代數式的變形中，則往往要分離出非負的量，配方技術是經常使用且很奏效的方法.

一、高考數學題講究的是通性通法，全面加強該方面的訓練

目前的高考是確實通性通法，但是中等題和難題體現的不完全一樣，比如，中等題，在體現通性通法方面就比較暴露，比較直接.在綜合性題目里面，這個通性通法的使用就比較靈活，必須剝掉幾層皮之后才能看到.鑒于這種情況，針對不同層次的學生，對通性通法可以做這樣不同層次的追求，比如，高考數學分數期望值在一百到一百一十幾分之間的這樣一個檔次的，你就要特別注重通性通法在同等題里面的應用，要保證在中等題里面運用通性通法做到萬無一失.如果做得再好一點，你這個分數的期望值完全可以做到的.在難題里運用通性通法，這個外殼剝不開，個別看不透問題不太大.如果你期望值是一百二十分以上，甚至達到一百四十幾分，相信你在選擇填空和中等題方面是有基礎和把握的，你們攻克的要點就是通性通法在綜合題中間怎么使用，怎么穿破這個迷魂陣，能夠剝出里面的內涵，把通性通法用上，這是大家要攻克的，當然攻破這個堡壘比前一個要困難一些.

二、數學課堂中的教學實況

案例1 觀察下面的一個課堂實錄.

一位教師在課堂上講解一道例題：已知tanα=-3，求下列式子的值：

教師詳細教給學生下面的解法(弦化切)：

(2)sin2α-3sinαcosα+2

但實際上還有下面的解法(代入法)教師并沒有教給學生：

(2)sin2α-3sinαcosα+2

兩種方法都是正確的方法，也難分孰優孰劣，在熟練掌握了弦化切方法之后，“弦化切”應該更簡潔一些.但是，筆者發現一些教師重“弦化切”法而輕“代入法”，甚至只教“弦化切”法而不教“代入法”，認為碰到這類題目用“弦化切”就足以解決問題了.這至少有下面的三個弊端：

(1)為了使學生熟練地掌握“弦化切”這種方法，我們必須引導學生分析歸納適用“弦化切”題型的特征(齊次)，這必然要花去學生的一些時間和精力(是一種負擔)，如果掌握得好，是值得的；如果掌握得不好，就會陷入解題困境.

(3)“代入法”是初高等數學中最通用的解題方法之一，也是最普遍的一種數學思維模式，學生從初中開始就被要求熟練掌握，易題難題的求解或求證都離不開“代入法”.解題上只求巧解，會使學生誤以為一種題型就只能用一種解法，誤以為“記住三百種題型的三百種解法，就可以在考試中獲得高分了”，引導學生進入枯燥無味的題海戰術，久而久之，思維方式越來越單一，思路越來越窄，最終陷入思維的困境.

三、合理使用數學中“通法”與“巧法”

“通法”，顧名思義就是通用方法.在初高等數學中，通法的含義是指一類問題的普通(通俗、一般)的解法，例如，代入法、消元法、換元法、配方法、三角法、割補法、坐標法、

數學歸納法、待定系數法、反證法、數形結合法、構造法等.在各種題型中，這些方法通常交叉、互補地使用.解題通法可以說是數學思想的更具體的體現，更加能反映數學的本質；而巧法是指在可以忽略對數學定義概念透徹理解、可以忽略通法、可以忽略思維方式的情況下，使用最簡單快捷的方法獲取答案.

四、回歸通性通法，沖刺提高

(一)熟諳主干知識

概念、性質、法則、公式、定理、公理是數學的最基礎的知識，熟悉它們是應考的首要環節.數學的主干內容是：函數、不等式、數列、向量、概率與統計、立體幾何和圓錐曲線等.對每一塊主干內容，要熟悉其知識結構、主要數學思想方法、主要題型及容易產生的解題方法的誤區.

(二)關注知識交匯

在知識網絡的交匯處設計試題是近幾年高考的一大亮點.二次函數、二次方程和二次不等式相濡以沫；三次函數粉墨登場；三角函數與平面向量牽手；幾何與代數不期而遇；數列與不等式狹路相逢；立體幾何與向量的姻緣；函數、導數、不等式和數列的群英薈萃，都是知識交匯的經典之作.

利用導數，可以求極值、最值，判斷單調性，導數使得對函數性質的研究別開生面，不再像雨像云又像霧了.

(三)追求高效訓練

在最后的階段(臨考前一兩天也需稍做一些題)每天下午三點開始，數學基礎一般的學生做一些選擇題、填空題和前三道解答題；數學基礎較好的學生做一些選擇題、填空題和一些相對薄弱的解答題.所做的題目，可以是沒有做過的以往高考題或最新的浙江省各地、市的模擬題.要進行有針對性的訓練，并從提煉數學思想方法的認識高度出發，達到舉一反三，解一題通一片的目的，以不變應萬變.

(四)注重通性通法

做選擇、填空題要學會巧解，掌握用特殊方法解決這兩種題型，而且力求有較快的速度和較高的準確率.解決解答題時必先認真審題，審題是整個解題過程的“基礎工程”，題目本身是“怎樣解題”的信息源；然后制訂解題策略，應該多從常規方法入手，盲目追求技巧是不可取的，盡量少一些模仿，多一些思考.

(五)回歸教材

許多高考題來源于教材或從教材中的習題改編而來，這種考題對所有考生是最公平的.特別是教材復習題的設計新穎優美，難度接近高考，很有拓展、開發和挖掘的余地和空間.建議考生針對自己的薄弱環節有選擇地做相應章節的復習參考題.

五、總 結

根據上述狀況來看，專業人員應該對通法進行掌控.通法，著眼基礎；巧法，著眼提高.對學生來說前者是“雪中送炭”，后者是“錦上添花”.以上是筆者對數學通法與巧法粗淺的認識和理解，也許其中有一些觀點還需不斷深入研究和擴展，可能也有一些觀點是不當的，希望各位同行能提出寶貴的意見.最后希望廣大數學教師在課堂上能強調通法的地位和作用，不斷總結教學經驗，豐富和完善高中數學通法.

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