兩類計數 若干變形

◎戴子鈞

(江蘇省海門中學高二(5)班，江蘇 海門 226100)

在江蘇高考中，對排列數與組合數的考查僅在附加題部分出現，這就讓眾多的文科考生失去了體會排列數與組合數變形的機會，未免有些遺憾.即便對于理科班，因為本章內容的特殊性，所以教師們往往采取點到為止的教學，對題目的分析淺嘗輒止.但事實上，排列組合的不易得分和會而不對常常造成我們慘痛的失分，鑒于此，筆者結合平日練習中遇到的一些問題，通過一些“粗加工”與讀者共享，以期能有所啟發.

例2(蘇教版選修2-3，P18)求證：(n+1)!-n!=n·n!，并化簡1·1!+2·2!+3·3!+…+10·10!.

證明左=(n+1)·n!-n!=(n+1-1)·n!=n·n!=右.命題得證.

解原式=2!-1!+3!-2!+…+11!-10!=11!-1!=11!-1.

還有一些題目，本身有著特殊的形式，形似神不似，在求解時一定要仔細觀察，以免走彎路，請看下題.

分析分母上a!與b!中a與b的差值不是常數，裂項可能有難度，由于其中a與b之和為定值，可以考慮通過組合數公式的定義求解.

例5求下列各式的值.

(2)原式=(1+1)4=24=16.

公式的導入使得題目一下子變得簡單，比起有的同學可能逐個將a0，a1，a2，…解出，節省了很多的時間.在平時的研究中，筆者又發現等差數列與等比數列的通項an與前n項的和sn經常隱藏在與組合數有關的求和題型中.我們不妨進一步揭開它神秘的面紗.

等差數列{an}中，設首項為a1，公差為d，前n項和為sn.

=(a1-d)(2n-1)+nd·2n-1，

等比數列{an}中，設首項為a1，公比為q(q≠1)，前n項和為sn.