避典型錯(cuò)誤，方能更易取勝
——以解三角形中錯(cuò)誤資源的利用為例

◎程 瑩

(浙江省麗水市慶元縣慶元中學(xué)，浙江 麗水 323800)

解三角形是高中數(shù)學(xué)中很基礎(chǔ)卻又很重要的知識(shí)，主要考查正弦定理和余弦定理的正確使用，屬于歷年考試必考的題目，但從考試結(jié)果來(lái)看，這部分得分不理想.根據(jù)“錯(cuò)誤”是一種可再生教學(xué)資源的教學(xué)理念，首先，教師正視學(xué)生的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤之時(shí)，就是開(kāi)始降低出錯(cuò)率的最佳時(shí)機(jī)；其次，要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去糾正錯(cuò)誤，找出錯(cuò)誤的根源；再次，培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)反思，對(duì)錯(cuò)誤分類整理，落實(shí)糾錯(cuò)并進(jìn)行針對(duì)練習(xí)的好習(xí)慣.筆者在解三角形知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)教學(xué)中，搜集整理了學(xué)生在下述三方面的典型錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤——糾正錯(cuò)誤——評(píng)析錯(cuò)誤——發(fā)展思維的過(guò)程，學(xué)生方面反饋效果很好.

一、三角函數(shù)的知識(shí)不扎實(shí)

例1(2016·浙江卷理)在△ABC中，角A，B，C對(duì)的邊記為a，b，c，已知b+c=2acosB.

(1)證明：A=2B；

錯(cuò)解(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB，

故sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

移項(xiàng)運(yùn)算，得sinB=sin(A-B)，

所以B=A-B，得證A=2B.

師：上述解法中錯(cuò)誤不止一處，試一試，你能找出幾處？

生：在(1)中，由sinB=sin(A-B)，角A，B∈(0，π)，故0

評(píng)析本題很值得作為典例，是學(xué)生經(jīng)常出錯(cuò)的類型.根源在于由三角函數(shù)值相等不能準(zhǔn)確判斷兩角之間的關(guān)系.解三角形需要三角函數(shù)作為基礎(chǔ)知識(shí)，需要多練習(xí).

二、數(shù)學(xué)思想欠缺

例2在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，b·cosC=(2a-c)·cosB.

(Ⅱ)已知邊b=1，求a+c的范圍.

評(píng)析解法1中，首先未考慮到基本不等式的缺點(diǎn)，即只能計(jì)算最大值或者最小值，那么該解法如何修正能得到正確范圍呢？

評(píng)析解法2中，使用函數(shù)思想解題是該解法的優(yōu)點(diǎn)，但是角A的范圍錯(cuò)誤，如何修正該解法，從而得到正確結(jié)果呢？(學(xué)生分組討論、交流)

生：銳角三角形應(yīng)該保證每一個(gè)角為銳角.

小結(jié)上述兩種解法，經(jīng)過(guò)糾錯(cuò)環(huán)節(jié)，都成為正確的解法，但是方法2的函數(shù)思想更優(yōu)越，符合求范圍題型的內(nèi)在要求.若本題僅要求解最大值，或者三角形未限定為銳角三角形，則可以采用基本不等式.此外，本道題中銳角三角形是關(guān)鍵信息，審題時(shí)要重點(diǎn)標(biāo)記.

三、定式思維，運(yùn)算不細(xì)心

例3在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.

評(píng)析本道題有2個(gè)小問(wèn)，雖然結(jié)果都是正確的，但是思維有很大漏洞.

對(duì)于(1)在三角形中，sinA≠0是肯定的，所以可以認(rèn)為正確.

但在(2)中，cosA=0是可以出現(xiàn)的，故需要分類討論.

評(píng)析本題是反定式思維的一個(gè)典例，主要考查sinA和cosA在化簡(jiǎn)中的不同作用.從做過(guò)很多題目來(lái)看，95%情況是約掉一個(gè)角的正弦值，于是，學(xué)生形成定式思維，對(duì)cosA≠0也當(dāng)作默認(rèn)的，直接約掉導(dǎo)致出現(xiàn)隱形錯(cuò)誤，這種失分很值得關(guān)注.

四、反 思

收集典型錯(cuò)誤，建立錯(cuò)題集是解決學(xué)生反復(fù)犯同一種錯(cuò)誤的最好方法.但對(duì)教師來(lái)說(shuō)，也應(yīng)該是一種好方法，有助于課堂的針對(duì)性，提高課堂效率，集中學(xué)生注意力，讓學(xué)生經(jīng)歷從錯(cuò)誤中走出來(lái)的親身體驗(yàn)，對(duì)于后續(xù)降低解三角形這類題目的出錯(cuò)率有利無(wú)弊.