數列求和的方法探討

◎陳 繼

(曲靖工商職業技術學校，云南 曲靖 655000)

數列屬于高中數學非常重要的組成部分，其在培養學生思維能力和邏輯推理能力，有著不可替代的作用.同時，在歷年的數學高考中，數列求和是常考的題型.數列求和試題不僅僅是考查數列綜合知識點，同時也考查學生的知識融會貫通能力和綜合分析能力，對于學生數學素養要求非常高.因此，在實踐教學過程中，教師必須對數列求和問題引起重視，引導學生掌握各種求和方法，能做到熟練靈活地運用.

一、拆項法

在面對有些數列求和的問題時，如果題目中的數列可以進行拆分，如拆成等差數列或者是等比數列的和，則可以采取拆項法進行求解，只需利用等比或等差數列的求和公式，將原數列中的n次方項當成一個整體.

二、裂項相消法

把數列的通項拆成兩項之差，即把數列的每一項都按同一種方法拆成兩項的差，使得求和時，一些正項和負項組能互相“抵消”為零.這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用，裂項法的實質，就是將數列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.

三、分組轉化法

把數列的每一項分解成兩(多)項，或者把數列的項重新組合，使其轉化成兩(多)個等比數列或者等差數列的和，即對通項進行分解或組合，將原數列轉化成若干個容易求和的數列.

四、錯位相減法

錯位相減法，主要是用于有一個等差數列和一個等比數列對應項之積所構成的數列求和問題中.錯位相減法的解題方法非常重要，在最近幾年的高考試題中，均出現了此方面內容.因此，學生必須對此種解題方法做到心中有數，熟練運用.在進行等比數列的前n項和的公式推導中，也常會運用此種方法.

比如，在如下例題中：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1.

①

解答由題可知，{(2n-1)xn-1}的通項是等差數列{2n-1}的通項與等比數列{xn-1}的通項之積，設xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn.

②

通過將①-②相減可以得出(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-(2n-1)xn.

再利用等比數列的求和公式，可以得出：

由此可以得出，

五、合并法求和

針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.

比如，如下例題，在各項均為正數的等比數列中，若a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.

解設Sn=log3a1+log3a2+…+log3a10.

Sn=(log3a1+log3a10)+(log3a2+log3a9)+…+(log3a5+log3a6)

=(log3a1·a10)+(log3a2·a9)+…+(log3a5·a6)

=log39+log39+…+log39=10.

六、奇偶數討論方法

有的數列求和，不僅需要考慮分段，同時還應當注意到奇數和偶數時的情況；然后再將所有的情況綜合起來的最終結果.遇到此種類型的題目，務必加以細心考慮.如果題目與奇數有關，通常情況下冪為n-1或者是n+1，這是當n為偶數時，冪就是奇數；當n為奇數時，冪就是偶數.

七、猜想法

一些數列求和問題，需要學生結合所掌握的知識和數學思想，大膽猜想和假設.尤其是遇到難度較大的數列求和問題時，更需要認真審題，仔細推敲，思考其內在的規律.首先，需要將S1，S2，S3，S4，S5等明確地計算出來，發現其中的規律；然后再利用歸納法進行證明.對于數列前n項和的計算方法有很多，比如，遞推法、常數列法以及綜合法，等等.

八、總 結

總而言之，在高中數學教學中，數列求和屬于數列教學重要的組成部分，數列求和對學生的數學綜合能力要求較高，尤其是邏輯推理能力、歸納猜想能力以及運算轉化能力，等等.在具體的數列求和解題過程中，教師應當引導學生對各種方法做到靈活運用，從而不斷提高解題正確率.

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