待定系數法與配方法的結合

◎張冬梅

(云南師范大學數學學院，云南 昆明 650500)

一、前 言

待定系數法是數學中的重要方法，是在知道問題答案形式的前提下，根據求解問題的特征，通過引入一些待定的系數，將要解決的數學問題轉化成一個含有待定系數的恒等式，然后利用恒等式的性質求出待定的系數，使問題得到解決[1].

配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知與未知的聯系，達到化繁為簡，化難為易.在中學數學中，配方法主要適用于：含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解，或者是缺中間交叉項xy的二次曲線等問題.配方法使用的最基本的配方依據是完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，將這個公式靈活運用，可以得到一些基本的配方形式，如：

a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab，

a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)

1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2.

很多數學問題，若巧用配方法，會將數學問題化繁為簡，化難為易，對利用實數平方的非負性來解決有關問題也有很大的作用[2].只要用心體驗、感悟，就能明白配方法的妙用.下面介紹利用待定系數法將多項式進行配方的通式，希望對某些數學問題解決有所幫助，也希望對想出此類題目的數學教學工作者有點幫助.

二、利用待定系數法將代數式化為完全平方式

(一)一元偶次冪形式

常見的一元偶次冪形式的式子ax2+bx+c，將之進行配方可以幫助我們解決與二次函數、一元二次方程、求代數式的值等有關的問題.這類式子進行配方難度不大，對學生來說印象最深刻的就是教師在黑板上推導一元二次方程的求根公式的時候，那是學生首次接觸配方法.

①ax2+bx+c

解：假設ax2+bx+c=a(x+k)2+h=ax2+2akx+ak2+h.

② 對關于x的方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a≠0)的配方，只需將等號左右兩邊同時除以x2就可以轉化成熟悉的二次形式進行配方，過程如下：

或者先不考慮把常數項計算出來，有

代數問題中常出現求代數式最大值或者最小值的情況，在解題時學生需想盡辦法將各種式子向配方法的表現形式靠攏，達到簡化式子的目的，讓題目變得簡單，而待定系數法便是一種行之有效的方法，使學生在解題時更加得心應手.

例1求二次函數y=2x2+4x+5的對稱軸方程和最小值.

解利用待定系數法配方得y=2(x+1)2+3，

∴對稱軸方程是x=-1，由于2>0，所以函數的最小值為3.

例2已知a，b∈R，關于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個實根，求a2+b2的最小值.

從而a2+b2≥8.

因此，a2+b2的最小值為8.

(二)二元形式

對于二元形式的式子的配方，此處以二元函數為例進行，相應的方程形式的配方就不再贅述.關于x，y的函數f(x，y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+g.

① 若有|a|<|b|且有c=2a，則有

假設f(x，y)=a(x+y+k)2+(b-a)(y+h)2+g-ak2-(b-a)h2=ax2+by2+2axy+2akx+[2ak+2h(b-a)]y+g.

④ 若有a=b且有|d|>|e|，則同③利用待定系數法有

上述幾種形式的代數式的配方過程不僅可以使學生在做某些代數問題時有法可循，也可以幫助教師或相關人士在命制試題時配湊相關數據，求解相應的問題.

例3求實數x，y的值，使得f(x，y)=(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y+6)2達到最小值.

解f(x，y)=(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y+6)2=5x2+3y2+6xy-30x-20y+46.

設f(x，y)=3(x+y+a)2+2(x+b)2+c=5x2+3y2+6xy+(6a+4b)x+6ay+3a2+2b2+c.

三、結 語

綜上所述，利用“配方法”來求解一類條件式、函數式的一元二次式、一元四次式、二元二次式甚至一些三元式的問題，往往十分簡潔流暢，給人以數學美的享受.

我國著名的數學家華羅庚在談到學習待定系數法的體會時曾說過：“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來”.待定系數法和配方法都是解決數學問題的有力工具，而將兩者結合起來應用有時會讓我們在解決問題的時候事半功倍.本文主要介紹的是如何將函數式或者方程式通過待定系數法整理成完全平方的形式，從而解決數學問題.當然，待定系數法的應用遠遠不止這些，關于它的應用還有待我們繼續研究.

[1]張保霞.淺析待定系數法在解題中的應用[J].科技展望，2017(6)：216.

[2]劉志國.初中數學方法及其應用[M].重慶：重慶出版社，1991.