待定系數(shù)法與配方法的結(jié)合

◎張冬梅

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

一、前 言

待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的重要方法，是在知道問題答案形式的前提下，根據(jù)求解問題的特征，通過引入一些待定的系數(shù)，將要解決的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后利用恒等式的性質(zhì)求出待定的系數(shù)，使問題得到解決[1].

配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知與未知的聯(lián)系，達到化繁為簡，化難為易.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，配方法主要適用于：含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者是缺中間交叉項xy的二次曲線等問題.配方法使用的最基本的配方依據(jù)是完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，將這個公式靈活運用，可以得到一些基本的配方形式，如：

a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab，

a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)

1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2.

很多數(shù)學(xué)問題，若巧用配方法，會將數(shù)學(xué)問題化繁為簡，化難為易，對利用實數(shù)平方的非負性來解決有關(guān)問題也有很大的作用[2].只要用心體驗、感悟，就能明白配方法的妙用.下面介紹利用待定系數(shù)法將多項式進行配方的通式，希望對某些數(shù)學(xué)問題解決有所幫助，也希望對想出此類題目的數(shù)學(xué)教學(xué)工作者有點幫助.

二、利用待定系數(shù)法將代數(shù)式化為完全平方式

(一)一元偶次冪形式

常見的一元偶次冪形式的式子ax2+bx+c，將之進行配方可以幫助我們解決與二次函數(shù)、一元二次方程、求代數(shù)式的值等有關(guān)的問題.這類式子進行配方難度不大，對學(xué)生來說印象最深刻的就是教師在黑板上推導(dǎo)一元二次方程的求根公式的時候，那是學(xué)生首次接觸配方法.

①ax2+bx+c

解：假設(shè)ax2+bx+c=a(x+k)2+h=ax2+2akx+ak2+h.

② 對關(guān)于x的方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a≠0)的配方，只需將等號左右兩邊同時除以x2就可以轉(zhuǎn)化成熟悉的二次形式進行配方，過程如下：

或者先不考慮把常數(shù)項計算出來，有

代數(shù)問題中常出現(xiàn)求代數(shù)式最大值或者最小值的情況，在解題時學(xué)生需想盡辦法將各種式子向配方法的表現(xiàn)形式靠攏，達到簡化式子的目的，讓題目變得簡單，而待定系數(shù)法便是一種行之有效的方法，使學(xué)生在解題時更加得心應(yīng)手.

例1求二次函數(shù)y=2x2+4x+5的對稱軸方程和最小值.

解利用待定系數(shù)法配方得y=2(x+1)2+3，

∴對稱軸方程是x=-1，由于2>0，所以函數(shù)的最小值為3.

例2已知a，b∈R，關(guān)于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個實根，求a2+b2的最小值.

從而a2+b2≥8.

因此，a2+b2的最小值為8.

(二)二元形式

對于二元形式的式子的配方，此處以二元函數(shù)為例進行，相應(yīng)的方程形式的配方就不再贅述.關(guān)于x，y的函數(shù)f(x，y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+g.

① 若有|a|<|b|且有c=2a，則有

假設(shè)f(x，y)=a(x+y+k)2+(b-a)(y+h)2+g-ak2-(b-a)h2=ax2+by2+2axy+2akx+[2ak+2h(b-a)]y+g.

④ 若有a=b且有|d|>|e|，則同③利用待定系數(shù)法有

上述幾種形式的代數(shù)式的配方過程不僅可以使學(xué)生在做某些代數(shù)問題時有法可循，也可以幫助教師或相關(guān)人士在命制試題時配湊相關(guān)數(shù)據(jù)，求解相應(yīng)的問題.

例3求實數(shù)x，y的值，使得f(x，y)=(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y+6)2達到最小值.

解f(x，y)=(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y+6)2=5x2+3y2+6xy-30x-20y+46.

設(shè)f(x，y)=3(x+y+a)2+2(x+b)2+c=5x2+3y2+6xy+(6a+4b)x+6ay+3a2+2b2+c.

三、結(jié) 語

綜上所述，利用“配方法”來求解一類條件式、函數(shù)式的一元二次式、一元四次式、二元二次式甚至一些三元式的問題，往往十分簡潔流暢，給人以數(shù)學(xué)美的享受.

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚在談到學(xué)習(xí)待定系數(shù)法的體會時曾說過：“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來”.待定系數(shù)法和配方法都是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，而將兩者結(jié)合起來應(yīng)用有時會讓我們在解決問題的時候事半功倍.本文主要介紹的是如何將函數(shù)式或者方程式通過待定系數(shù)法整理成完全平方的形式，從而解決數(shù)學(xué)問題.當(dāng)然，待定系數(shù)法的應(yīng)用遠遠不止這些，關(guān)于它的應(yīng)用還有待我們繼續(xù)研究.

[1]張保霞.淺析待定系數(shù)法在解題中的應(yīng)用[J].科技展望，2017(6)：216.

[2]劉志國.初中數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用[M].重慶：重慶出版社，1991.