山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村
——淺析構(gòu)造法的妙

2018-03-23 06:43:53◎沈宇

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2018年6期

◎沈宇

(杭州市余杭區(qū)喬司中學(xué)，浙江杭州 311100)

在數(shù)學(xué)的教學(xué)和解題中，有些問題不能通過常規(guī)的方法解決，需要結(jié)合已有的條件構(gòu)造出新的模型，從而使問題得以解決，這種方法叫作構(gòu)造法.

中國古典數(shù)學(xué)院士吳文俊指出“由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，構(gòu)造性的數(shù)學(xué)在不久的將來有很大的發(fā)展，甚至逐漸成為主流的數(shù)學(xué)”.在教學(xué)過程中嵌入構(gòu)造法的教學(xué)能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維，還能提高學(xué)生的建模意識(shí)和數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).構(gòu)造性思維首先是審題從中找到數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論，重新建立數(shù)學(xué)模型，從而抓住問題的突破點(diǎn)，各個(gè)擊破.下面就幾個(gè)例子闡述構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

一、例題分析

(一)構(gòu)造方程

例1(杭州市2017年中考數(shù)學(xué)題)在面積都相等的所有矩形中，當(dāng)其中一個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為1時(shí)，它的另一邊長(zhǎng)為3.

(1)設(shè)矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為x，y.

① 求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

② 當(dāng)y≥3時(shí)，求x的取值范圍；

(2)圓圓說其中有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為6，方方說有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為10，你認(rèn)為圓圓和方方的說法對(duì)嗎？為什么?

解析對(duì)于本題的第(1)問，直接根據(jù)已知條件中的等量關(guān)系列出方程，再根據(jù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)解決問題，相對(duì)來說比較簡(jiǎn)單；對(duì)于第(2)問，根據(jù)已知條件我們知道這里所有矩形面積都是3，那這些矩形的周長(zhǎng)能否為6和10，這里我們可以根據(jù)已知條件構(gòu)造出方程，再根據(jù)根的判別式判斷這樣周長(zhǎng)的矩形是否存在.

思考：上述構(gòu)造方程相關(guān)的試題，是從已知條件出發(fā)，我們能夠很快速地構(gòu)造出一元二次方程，再根據(jù)具體問題具體分析，構(gòu)造緊扣熟悉化、相似性原則.

(二)構(gòu)造函數(shù)

例2關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a≠0,a,m,b均為常數(shù))，則方程a(x+m+2)2+b=0的解是________.

解析根據(jù)方程的表達(dá)形式，可以向函數(shù)表達(dá)式的頂點(diǎn)式轉(zhuǎn)化，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)及方程的兩個(gè)根即函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)造出函數(shù)圖像經(jīng)過(-m,b),(-2,0),(1,0)這三點(diǎn)，再看要求的解，構(gòu)造函數(shù)圖像它也是頂點(diǎn)式經(jīng)過(-m-2,b),由于它和我們條件中構(gòu)造的函數(shù)圖像開口方向一致，頂點(diǎn)坐標(biāo)向左平移了2，所以這個(gè)函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)也向左平移了2，即此函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別(-4,0),(-1,0)，所以方程的解為x1=-4,x2=-1.

思考：方程與函數(shù)模型是中學(xué)中常用到的一種思想方法，通過直觀地構(gòu)造出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)及已知條件能夠快速解決問題.

(三)構(gòu)造圖形

例3如圖1所示，六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都相等.若AB=1，BC=CD=3，DE=2，則六邊形的周長(zhǎng)等于________.

圖1

圖2

解析對(duì)于已知圖1中給出的六邊形，由于六個(gè)內(nèi)角都相等，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式我們可以求出每個(gè)角都是120°.已知只知道AB、BC、CD、DE四條邊的長(zhǎng)度，要求這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)，還需要知道EF、AF的長(zhǎng)度.由于這個(gè)六邊形并不是一個(gè)規(guī)則的六邊形，只知道它的每個(gè)角是120°，要求出另外兩邊的長(zhǎng)度，我們只能從它的角度著手，看能否構(gòu)造出特殊的圖形.如圖2所示，我們構(gòu)造出了一個(gè)平行四邊形MCNF及兩個(gè)正三角形△AMB和△EDN，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)，這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)迎刃而解.

思考：三角形作為初中數(shù)學(xué)的基本圖形經(jīng)常出現(xiàn)在我們的解題教學(xué)中,它們的構(gòu)造都是建立在學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識(shí)之上，略有提升，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感.

二、教學(xué)啟示

構(gòu)造法是一種具有很強(qiáng)的技巧性的解題方法，具有很強(qiáng)的靈活性和非常規(guī)性，但它是基于學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)之上的，在運(yùn)用構(gòu)造性思維解題時(shí)要遵循三大基本原則：熟悉化、相似性、直觀性.新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)課程不僅要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想，還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，多在教學(xué)實(shí)踐中引入構(gòu)造法的應(yīng)用，可以起到很好的效果.