山重水復疑無路，柳暗花明又一村
——淺析構造法的妙

◎沈 宇

(杭州市余杭區(qū)喬司中學，浙江 杭州 311100)

在數(shù)學的教學和解題中，有些問題不能通過常規(guī)的方法解決，需要結合已有的條件構造出新的模型，從而使問題得以解決，這種方法叫作構造法.

中國古典數(shù)學院士吳文俊指出“由于計算機技術的發(fā)展，構造性的數(shù)學在不久的將來有很大的發(fā)展，甚至逐漸成為主流的數(shù)學”.在教學過程中嵌入構造法的教學能激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維，還能提高學生的建模意識和數(shù)學思維能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).構造性思維首先是審題從中找到數(shù)學問題的條件和結論，重新建立數(shù)學模型，從而抓住問題的突破點，各個擊破.下面就幾個例子闡述構造法在初中數(shù)學中的應用.

一、例題分析

(一)構造方程

例1(杭州市2017年中考數(shù)學題)在面積都相等的所有矩形中，當其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3.

(1)設矩形的相鄰兩邊長分別為x，y.

① 求y關于x的函數(shù)表達式；

② 當y≥3時，求x的取值范圍；

(2)圓圓說其中有一個矩形的周長為6，方方說有一個矩形的周長為10，你認為圓圓和方方的說法對嗎？為什么?

解析對于本題的第(1)問，直接根據(jù)已知條件中的等量關系列出方程，再根據(jù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)解決問題，相對來說比較簡單；對于第(2)問，根據(jù)已知條件我們知道這里所有矩形面積都是3，那這些矩形的周長能否為6和10，這里我們可以根據(jù)已知條件構造出方程，再根據(jù)根的判別式判斷這樣周長的矩形是否存在.

思考：上述構造方程相關的試題，是從已知條件出發(fā)，我們能夠很快速地構造出一元二次方程，再根據(jù)具體問題具體分析，構造緊扣熟悉化、相似性原則.

(二)構造函數(shù)

例2關于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a≠0,a,m,b均為常數(shù))，則方程a(x+m+2)2+b=0的解是________.

解析根據(jù)方程的表達形式，可以向函數(shù)表達式的頂點式轉化，根據(jù)頂點坐標及方程的兩個根即函數(shù)與x軸的兩個交點構造出函數(shù)圖像經(jīng)過(-m,b),(-2,0),(1,0)這三點，再看要求的解，構造函數(shù)圖像它也是頂點式經(jīng)過(-m-2,b),由于它和我們條件中構造的函數(shù)圖像開口方向一致，頂點坐標向左平移了2，所以這個函數(shù)圖像與x軸的兩個交點坐標也向左平移了2，即此函數(shù)圖像與x軸的兩個交點分別(-4,0),(-1,0)，所以方程的解為x1=-4,x2=-1.

思考：方程與函數(shù)模型是中學中常用到的一種思想方法，通過直觀地構造出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)及已知條件能夠快速解決問題.

(三)構造圖形

例3如圖1所示，六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角都相等.若AB=1，BC=CD=3，DE=2，則六邊形的周長等于________.

圖1

圖2

解析對于已知圖1中給出的六邊形，由于六個內(nèi)角都相等，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式我們可以求出每個角都是120°.已知只知道AB、BC、CD、DE四條邊的長度，要求這個六邊形的周長，還需要知道EF、AF的長度.由于這個六邊形并不是一個規(guī)則的六邊形，只知道它的每個角是120°，要求出另外兩邊的長度，我們只能從它的角度著手，看能否構造出特殊的圖形.如圖2所示，我們構造出了一個平行四邊形MCNF及兩個正三角形△AMB和△EDN，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)，這個六邊形的周長迎刃而解.

思考：三角形作為初中數(shù)學的基本圖形經(jīng)常出現(xiàn)在我們的解題教學中,它們的構造都是建立在學生已有的基礎知識之上，略有提升，讓學生學會靈活運用所學的知識，獲得數(shù)學學習的成就感.

二、教學啟示

構造法是一種具有很強的技巧性的解題方法，具有很強的靈活性和非常規(guī)性，但它是基于學生已有的知識基礎之上的，在運用構造性思維解題時要遵循三大基本原則：熟悉化、相似性、直觀性.新課程標準指出，數(shù)學課程不僅要注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想，還要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識，多在教學實踐中引入構造法的應用，可以起到很好的效果.

在教學中，應當鼓勵學生通過觀察、猜測、計算、推理、驗證等活動過程有意識地培養(yǎng)學生的構造思維，養(yǎng)成獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學習習慣，形成嚴謹求實的科學態(tài)度.構造法具有很強的技巧性和靈活性，其適用面也不是很廣，在教師主導學生主體的構造教學中，教師要把握好教學的度，不能只為了構造而提高解題的難度，增加學生數(shù)學學習的負擔，應從學生的具體情況出發(fā)，結合學生已有的知識基礎幫助學生學會構造法建立熟悉的模型，從而解決問題.