山重水復疑無路，柳暗花明又一村
——淺析構造法的妙

◎沈 宇

(杭州市余杭區喬司中學，浙江 杭州 311100)

在數學的教學和解題中，有些問題不能通過常規的方法解決，需要結合已有的條件構造出新的模型，從而使問題得以解決，這種方法叫作構造法.

中國古典數學院士吳文俊指出“由于計算機技術的發展，構造性的數學在不久的將來有很大的發展，甚至逐漸成為主流的數學”.在教學過程中嵌入構造法的教學能激發學生的創造性思維和發散性思維，還能提高學生的建模意識和數學思維能力，培養學生的數學素養.構造性思維首先是審題從中找到數學問題的條件和結論，重新建立數學模型，從而抓住問題的突破點，各個擊破.下面就幾個例子闡述構造法在初中數學中的應用.

一、例題分析

(一)構造方程

例1(杭州市2017年中考數學題)在面積都相等的所有矩形中，當其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3.

(1)設矩形的相鄰兩邊長分別為x，y.

① 求y關于x的函數表達式；

② 當y≥3時，求x的取值范圍；

(2)圓圓說其中有一個矩形的周長為6，方方說有一個矩形的周長為10，你認為圓圓和方方的說法對嗎？為什么?

解析對于本題的第(1)問，直接根據已知條件中的等量關系列出方程，再根據函數圖像及其性質解決問題，相對來說比較簡單；對于第(2)問，根據已知條件我們知道這里所有矩形面積都是3，那這些矩形的周長能否為6和10，這里我們可以根據已知條件構造出方程，再根據根的判別式判斷這樣周長的矩形是否存在.

思考：上述構造方程相關的試題，是從已知條件出發，我們能夠很快速地構造出一元二次方程，再根據具體問題具體分析，構造緊扣熟悉化、相似性原則.

(二)構造函數

例2關于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a≠0,a,m,b均為常數)，則方程a(x+m+2)2+b=0的解是________.

解析根據方程的表達形式，可以向函數表達式的頂點式轉化，根據頂點坐標及方程的兩個根即函數與x軸的兩個交點構造出函數圖像經過(-m,b),(-2,0),(1,0)這三點，再看要求的解，構造函數圖像它也是頂點式經過(-m-2,b),由于它和我們條件中構造的函數圖像開口方向一致，頂點坐標向左平移了2，所以這個函數圖像與x軸的兩個交點坐標也向左平移了2，即此函數圖像與x軸的兩個交點分別(-4,0),(-1,0)，所以方程的解為x1=-4,x2=-1.

思考：方程與函數模型是中學中常用到的一種思想方法，通過直觀地構造出函數，再根據函數圖像的性質及已知條件能夠快速解決問題.

(三)構造圖形

例3如圖1所示，六邊形ABCDEF的六個內角都相等.若AB=1，BC=CD=3，DE=2，則六邊形的周長等于________.

圖1

圖2

解析對于已知圖1中給出的六邊形，由于六個內角都相等，根據多邊形內角和公式我們可以求出每個角都是120°.已知只知道AB、BC、CD、DE四條邊的長度，要求這個六邊形的周長，還需要知道EF、AF的長度.由于這個六邊形并不是一個規則的六邊形，只知道它的每個角是120°，要求出另外兩邊的長度，我們只能從它的角度著手，看能否構造出特殊的圖形.如圖2所示，我們構造出了一個平行四邊形MCNF及兩個正三角形△AMB和△EDN，根據平行四邊形的性質和正三角形的性質，這個六邊形的周長迎刃而解.

思考：三角形作為初中數學的基本圖形經常出現在我們的解題教學中,它們的構造都是建立在學生已有的基礎知識之上，略有提升，讓學生學會靈活運用所學的知識，獲得數學學習的成就感.

二、教學啟示

構造法是一種具有很強的技巧性的解題方法，具有很強的靈活性和非常規性，但它是基于學生已有的知識基礎之上的，在運用構造性思維解題時要遵循三大基本原則：熟悉化、相似性、直觀性.新課程標準指出，數學課程不僅要注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想，還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識，多在教學實踐中引入構造法的應用，可以起到很好的效果.

在教學中，應當鼓勵學生通過觀察、猜測、計算、推理、驗證等活動過程有意識地培養學生的構造思維，養成獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣，形成嚴謹求實的科學態度.構造法具有很強的技巧性和靈活性，其適用面也不是很廣，在教師主導學生主體的構造教學中，教師要把握好教學的度，不能只為了構造而提高解題的難度，增加學生數學學習的負擔，應從學生的具體情況出發，結合學生已有的知識基礎幫助學生學會構造法建立熟悉的模型，從而解決問題.