利用一元二次方程解三角形案例分析

◎甘述鴻 張愛存

(甘肅省武威市天祝藏族自治縣第二中學，甘肅 武威 733299)

初中數學教學中，以三角形的邊長、銳角三角函數作為一元二次方程的根或者系數的問題，融會了幾何知識和代數知識，是一種綜合性較強的題型.由于這類題目側重于考查學生分析問題和解決問題的綜合能力，所以在歷屆中考考試中屢見不鮮.本文舉例說明解決此類問題的常用方法.

一、利用根的判別式求解

∴na2-n(c2-b2)=0，即a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形.

二、利用韋達定理求解

例3(連云港市中考題)設△ABC的三邊分別是a，b，c，其中a，b是方程x2-(c+2)x+2(c+1)=0的兩個實數根，試判斷△ABC是否為直角三角形，并說明理由.

解由韋達定理，得a+b=c+2，ab=2(c+1)，

∴a2+b2=(a+b)2-2ab=(c+2)2-4(c+1)=c2，

∴由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.

例4(昆明市中考題)在△ABC中，∠C=90°，斜邊AB=10，直角邊AC，BC的長是關于x的方程x2-mx+3m+6=0的兩個實數根.

(1)求m的值；

(2)計算sinA+sinB+sinA·sinB.

解(1)根據韋達定理，得

AC+BC=m，AC·BC=3m+6.

在Rt△ABC中，AC2+BC2=100，

即(AC+BC)2-2AC·BC=0，

代入整理得m2-6m-112=0.

解得m1=14，m2=-8(舍去).

(2)AC+BC=m=14，AC·BC=3m+6=3×14+6=48，

三、構造一元二次方程，利用解方程求解

例5(河北省中考題)已知：k>1，b=2k，a+c=2k2，ac=k4-1，則以a，b，c為邊的三角形( ).

A.一定是等邊三角形 B.一定是等腰三角形

C.一定是直角三角形 D.形狀無法確定

解由于a+c=2k2，ac=k4-1，

所以a，c是方程x2-(2k2)x+k4-1=0的兩根.

解得a=k2-1，c=k2+1.

∴a2+b2=(k2-1)2+(2k)2=k4+2k2+1=(k2+1)2=c2，

∴以a，b，c為邊的三角形是直角三角形，應選C.

四、綜合利用根的判別式、韋達定理、根的意義等知識求解

(1)略；

(2)若等腰△ABC的一邊長a=4，另兩邊的長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.

解(2)∵△ABC是等腰三角形，

∴有兩邊長相等.

若b=c，由于b，c都是已知方程的根，

∵a=4，這時b+c=a，不合題意，

∴這種情況不可能.

若b，c中有一條與a相等，不妨設b=a=4.

∵b是所給方程的根，

∴b+c=2k+1=6，從而c=2.

∵a+b=8>c，符合題意，

∴△ABC的周長為10.