對立事件在概率計算問題中的應用

◎付冰潔 王賜昌

(河南省新鄉市封丘縣振興路416號封丘縣第一中學，河南 新鄉 453300)

一、在古典概型中的應用

古典概型的定義是由法國數學家拉普拉斯提出的.如果一個隨機試驗所包含的基本事件是有限的，且每個基本事件發生的可能性均相等，則這種條件下的概率模型就叫古典概型.為求解古典概型中的問題，需要從排列組合等知識點出發，考慮一切可能出現的結果，不能遺漏也不能重復.

例1從5雙不同的鞋子中任取4只，問這4只鞋子中至少有2只鞋子配成一雙的概率是多少？

方法一是正向思維，從正面一步一步地直接計算，如果情況多的話很可能會漏掉某種情況.而方法二是變換角度，從事件的對立事件出發，簡單易行，計算方便.所以在計算事件的概率時應先想一想：計算對立事件的概率是否更方便些？然后再選擇一個容易的去做，不僅能提高正確率，還可以節約計算時間.

例2假定人在一年365天中的任一日出生的概率是一樣的，試求參加某次聚會的n個人中至少兩人有相同生日的概率是多少？

二、在離散型隨機變量中的應用

例3某產品40件，其中有次品3件，現從中任取3件，求其中至少有一件次品的概率.

P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

≈0.208 5.

如果利用對立事件，易得：

P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)

可以看出，從問題直接出發進行計算比較復雜，而通過對立事件計算則簡便的多.

三、在幾何概型中的應用

在幾何概型的模型下，隨機實驗所有可能的結果是無限的，并且每個基本結果發生的概率是相同的，它與古典概型的區別在于其試驗的結果是無限個，是將等可能事件從有限維推廣到了無窮維.

例4甲乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內到達該碼頭的時間是等可能的，如果甲船停泊時間為1小時，乙船停泊時間為2小時，試求這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率.

解析本題需要根據問題中涉及的兩個變量的關系，畫出幾何圖形，然后利用幾何方法解決概率問題.

四、總 結

通過上面四個例子的分析不難發現，在概率的一些計算問題中，如果按照正向思維直接計算，計算會比較復雜，計算量也大.然而如果利用逆向思維，從事件的對立事件出發求解，則往往可以大幅降低計算量，從而起到事半功倍的效果.因此，在概率論的計算問題中，我們應充分運用概率的性質，打破思維定式，有意識地進行逆向思維的訓練，不僅可以加深對問題的理解和認識，而且還能開拓解決實際問題的途徑，提高數學思維能力和解決分析問題的能力.