李子金《幾何易簡集》數學思想初探

王馨

摘要：本文考察與分析了李子金著作《幾何易簡集》，揭示了李子金對《幾何原本》的理解與反應。《幾何易簡集》根植于傳統中算，同時對西方幾何學有深刻認識。李子金認為天地間的“道”必須通過研究數學追尋。

關鍵詞：李子金；幾何原本；幾何易簡集

清初中算家李子金的《幾何易簡集》是一部會通《幾何原本》的著作。目前對李子金的生平與其三角學工作已經有所研究，而對其在幾何學領域做出的工作仍有待深入?！稁缀我缀喖愤x取《幾何原本》部分命題進行證明，通過以“數明之”、“勾股明之”的方式加以闡述。書中運用勾股術，體現了中西數學本質相通。

1 生平

李之鉉（1622—1701），字子金，號隱山，河南柘城人。因避康熙帝玄燁諱而以字行，故稱李子金。

李子金自幼聰明好學，天資過人，“清才雋思，童年即駕其曹”[1]。初從事道學、天學，對易經八卦星相歷法多有研究。好友劉榛（1635—1690）寫道：

子金多藝術而尤喜神仙家言，嘗衣寬博之衣，色正白，頂毗盧帽來應學使者，試而言神仙于稠人之途，昉、廉以異端呼之。[2]

可見李子金行事特立獨行。四十九歲那年李子金認為自己功名無望，潛心歷算。他將后半生精力用于歷算之學。1676年完成《天弧象限表》與《算法通義》，1679年完成《幾何易簡集》，1682年完成《書學慎余》，1683年寫成《天弧象限表》，1688年寫成《歷范》，1690年寫成《狂夫之言》。

2 數之所以然即道：《幾何易簡集》與《幾何原本》

《幾何易簡集》自序作于“康熙己未（1679年）春二月清明日”。[3]共四卷，卷一為《幾何要法》刪注，由點、線、面至作圖器具與方法。卷二至卷四為《幾何原本》刪注，選取了四十三道命題。證明依《原本》方法，附有李子金的見解。意在“于其至淺而以為不足道者，盡去之。于其至深而以為不能至者，從而旁通之，發明之。使《原本》之微機妙義璨若指掌，而《要法》所載皆無一不可解者。”[3]2b現擇其要者簡述如下。

《幾何易簡集》二卷第十題（《幾何原本》二卷第十一題）。

本題討論“理分中末線”，為清初中算家所重視?！稁缀我缀喖返淖鞣ㄅc證明與《幾何原本》相同。先作甲乙全線所在正方形，平分甲丁于戊，作戊巳與戊乙等，再作甲巳與甲庚等。證明則援引《原本》二卷十題結論：甲丁平分于戊，又引長至巳。則丁巳與壬丁長方形與甲丁正方形相等，故丙庚長方形與甲辛正方形相等，得證。

李子金以數明之：“以數考之，雖有奇零不盡之處，而其理則如是也?！盵3]9a他假設甲丁元線為股，長八寸；折半得甲戊為勾，長四寸。據勾股定理得戊乙弦長為八寸九分四厘四毫強，即略大于八寸九分四厘四毫。依此得到（4×√5）的近似值。甲庚大分四寸九分四厘四毫為甲乙全線八寸的十分之六一八，而庚乙小分三寸零五厘六毫為甲庚大分四寸九分四厘四毫的十分之六一八。由此得到一線分身連比例的比值。

本題最后提出“以勾股之率量之更為簡捷。只以初率之元線為股，折半為勾，勾弦差為中率，以勾弦差減股余為末率足矣?！盵3]11a這與梅文鼎以勾股解“理分中末線”方法相合。

《幾何易簡集》三卷第十四題即《幾何原本》六卷第三十題“求作理分中末線?！崩钭咏鹨廊幌茸裱对尽纷鞣?，隨后給出自己的解法。

以甲乙為全線作正方形，甲丁平分于壬，連結乙壬，作庚壬與乙壬等，再作甲辛與甲庚等，則辛分甲乙得理分中末線。該法亦見于梅文鼎《幾何通解》，二人再次達成默契。其實質在于通過構造兩直角邊比為1：2的直角三角形從而獲得長為√5的斜邊。

3 結論

通觀李子金《幾何易簡集》可知《幾何易簡集》保留了《幾何原本》“以數明之”，同時附上“以勾股明之”。以達到“旁通之，發明之，使《幾何原本》之微機妙義璨若指掌?！崩钭咏鹩嬎愠鲆痪€分身連比例的比值為十分之六一八，并以勾股術構造出“理分中末線”。這兩項工作在中算家中均屬首創。李子金書中“以數明之”、“以勾股明之”背后蘊含著“數之所以然即道”的思想。這建立在他親眼見證命題所展現的美妙數學關系之上。

參考文獻：

[1]《李子金傳》，轉引自高宏林.清初數學家李子金[J].中國科技史料，1990年一期.

[2]劉榛.李子金、孫昉、鄭廉傳，《虛直堂文集》.四庫未收書輯刊，7輯25冊，清康熙刻補修本.

[3]李子金.幾何易簡集自序，《幾何易簡集》，北京圖書館古籍珍本叢刊，84冊，書目文獻出版社，1998，《幾何序》3a.

項目基金：國家社會科學基金項目（13AZS022）