從數學史上的三大悖論看悖論的驅動功能

鄒世龍

一切事物都是在矛盾中生存、矛盾中發展的，數學的發展也離不開這樣的規律；數學史上三大悖論對數學發展的驅動也印證了這一點。

一、畢達哥拉斯悖論

1. 畢達哥拉斯悖論

不管度量單位取得多么小，都不可能成為正方形的邊與對角線的共同度量單位。也就是說，正方形的邊和對角線不可公度；這與畢達哥拉斯學派關于任何兩條線段都可公度的理論構成了一個悖論。

2. 受畢達哥拉斯悖論驅動的數學成果

（1）發現了無理數，催生了相關的數學方法。

產生了一個新的數類——實數；更重要的是，人們在證明無理數存在和探索無理數性質的過程中得到了多種重要的數學方法。如，輾轉相截的方法、反證法、分析法、歐幾里得奇偶數證法等等。

（2） 形成了以邏輯演義為代表的一系列數學思想。

畢達哥拉斯悖論使人們認識到，直覺、經驗乃至實驗都不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，并加深了對數學抽象性、理想化等本質特征的認識。如柏拉圖強調要把數學奠基于邏輯之上。亞里士多德的經典著作《工具論》把邏輯規律典范化、系統化，闡述了邏輯學理論，創立了古典邏輯學。

（3）催生歐幾里得《幾何原本》。

歐幾里得在前人準備的“木石磚瓦”材料的基礎上，天才般地按照邏輯系統把幾何命題整理起來，建成一座幾何大廈，完成了數學史上的光輝著作《幾何原本》。《幾何原本》的產生離不開亞里士多德的邏輯思想，而亞里士多德的邏輯思想源自柏拉圖推理論證的思想，柏拉圖推理論證的思想則是在畢達哥拉斯悖論的驅動下產生的。

二、貝克萊悖論

1.貝克萊悖論

貝克萊分析了牛頓求xn的流數的方法。在這一方法中，為了求xn的流數，牛頓假設在相同的時間內，x通過流動變化為x+0，同時xn變化為（x+0）n……，在得到增量0與增量n0xn-1+n2-n202xn-2+…之比等于1和nxn-1+n（n-1）2xn-20+…之比后，牛頓令增量等于0，得到最后的比等于1：nxn-1.

貝克萊指出這個推理中先取一個非零的增量0并用它計算，然而在最終卻又讓0“消失”，即令增量為零得出結果，這里關于0的假設前后矛盾，是“分明的詭辯”。

2. 受貝克萊悖論驅動產生的主要成果

（1）麥克勞林完成了《流數論》。

在貝克萊悖論的驅動下，英國數學家麥克勞林率先給出了最重要的回應。為維護牛頓的流數術，麥克勞林完成了《流數論》。

（2） 拉格朗日的《解析函數論》。

拉格朗日試圖通過擺脫使用無窮小量、流數、零，甚至極限來解決貝克萊悖論。在這方面的研究體現在他的重要著作《解析函數論：包含微積分學的主要定理，不用無窮小，或正在消失的量，或極限和流數等概念，而歸結為有限量的代數分析藝術》中。

（3）柯西確立了以極限論為基礎的現代數學分析體系。

他從極限定義出發，確立了以極限論為基礎的現代數學分析體系，成為這項偉大工程的開拓者與集大成者。

（4）魏爾斯特拉斯以ε-δ語言系統建立了分析的嚴謹基礎。

對于柯西“一個變量無限趨于一個極限”的說法，魏爾斯特拉斯認為會使人們想起時間和運動；為消除這種描述性語言帶來的不確定性，他給出著名的“ε-N（ε-δ）”定義，使極限和連續性擺脫了對幾何和運動的依賴，給出了只建立在數與函數概念上的清晰定義，從而使一個模糊不清的動態描述，變成一個嚴密敘述的靜態觀念，這是變量數學史上的一次重大創新，也是源于解決克萊悖論的成果。

三、羅素悖論

1. 羅素悖論

構造一個集合S：S是由一切不是自身元素的集合所組成。那么S是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但是，對于這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難的境地：如果S屬于S，根據S的定義（S包含所有不屬于自身的集合），S就不屬于S。反之，如果S不屬于S，同樣根據定義（S包含所有不屬于自身的集合），S就屬于S。無論如何都是矛盾的。

2. 羅素悖論驅動下的數學基礎研究

（1）公理集合論。

1908年，策梅洛發表著名論文《關于集合論基礎的研究》，建立了第一個集合論公理體系，用集合論公理化的方法消除羅素悖論。

（2） 三大學派的數學基礎研究。

以羅素為代表的邏輯主義。

以布勞威爾為代表的直覺主義。

以希爾伯特為代表的形式主義。

（3）哥德爾的發現。

哥德爾證明了：任何一個足以包含自然數算術的形式系統，如果它是相容的，則它必定存在一個不可判定的命題，即存在某一命題S，使S與S的否定在這系統中都不可證。這一結論被稱為哥德爾第一不完全性定理。

作為第一不完全性定理的自然延續和深化，哥德爾第二不完全性定理表明的是：如果一個足以包含自然數算術的公理系統是無矛盾的，那么這種無矛盾性在該系統內是不可證明的。

哥德爾的第一不完全性定理提出后，人們清楚的意識到：雖然可證的是真，但真的卻并不一定可證；因此，就最本質的意義上說，哥德爾定理所做的無非是永遠擊碎了真與證明同一的信念。簡單地說，“真”大于“證明”。

不可否認，三大悖論尤其是畢達哥拉斯悖論也曾給數學的發展帶來過負面影響，但這絲毫不影響其正面驅動的成就，并且之后的悖論負面影響大大減小，這是經驗的力量。

【注：本文系甘肅省教育科學“十三五”規劃課題《悖論的驅動功能與新課程理念下數學教學策略中的悖論驅動研究》的研究成果，課題立項號GS[2017]GHB3312】

（作者單位：張掖市山丹縣第一中學）