高三數學問題設計有效性的幾點思考

☉福建省福州屏東中學 蔣劍鋒

☉福建省福州第十六中學 林麗群

教師在學生高三階段的數學復習中首先要做的是對《課程標準》《考試大綱》《考試說明》的仔細研究，并因此將這一復習階段的教學目標進行準確的定位以保障教學的方向，同時，教師應以《課程標準》的先進理念為指導，將先進的理念融入教學以促成數學高考復習有效性的實現.另外，教師還應該對數學高考考什么、怎么考進行深入研究，只有這樣，我們應對數學高考的準備工作才會更加完美.

一、著眼于概念辨析與易錯之處設計問題

高考試題不管如何變化都離不開相關基礎知識與基本能力考查的范疇，因此，教師在高三數學復習中應重視對重要概念、公式、法則的復習，在復習中將這些重要知識點的形成及其典型例題作為重點幫助學生進行梳理，并因此將這些重要知識點中易錯、易混淆的地方設計進復習的各個環節與問題中，使得學生在辨析中形成正確而牢固的認知.

1.著眼于概念辨析之處設計的問題

上為減函數，則a的取值范圍為（ ）.

2.著眼于公式應用之處設計的問題

例2（1）設（fn）=2+24+27+210+…+23n+1（0n∈N），則（fn）等于______.

（2）設f（n）=a+a4+a7+a10+…+a3n+1（0n∈N，a∈R），則（fn）等于______.

關于項數和公比是否等于1的討論是學生經常容易出錯的地方.

3.著眼于易錯易混淆之處設計的問題

很多看起來非常簡單的問題或者敘述常常是很多學生容易混淆或者區分之時會感覺困難的，教師察覺到學生的這種學習狀況時應該及時設計出針對性的問題以促成學生進行對比與感悟.比如，曲線在某點處的切線和過某點的切線之間的具體區別在哪里，函數定義域是A和函數在A上有意義又有何具體不同等問題都可以進行針對性問題設計，使得學生在區分與辨析的實戰中牢固掌握正確知識.

例3 已知函數f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x（其中k為實數）.

（1）若對于任意x∈［-3，3］都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）存在x∈［-3，3］，使f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）若對于任意x1、x2∈［-3，3］都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（4）若對于任意x1∈［-3，3］總有x2∈［-3，3］存在并能使g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范圍；

（5）若對于任意x1∈［-3，3］總有x2∈［-3，3］存在并能使f（x1）≥g（x2）成立，求k的取值范圍.

分析：令h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k.

（1）轉化為x∈［-3，3］時，h（x）≥0恒成立，故h（x）min≥0，k≥45；

（2）轉化為x∈［-3，3］時，h（x）≥0有解，故h（x）min≥0，k≥-7；

（3）轉化為x∈［-3，3］時，f（x）max≤g（x）min?120-k≤-21?k≥141；

（4）問題轉化為x∈［-3，3］時，f（x）的值域是g（x）值域的子集，易得9≤k≤13；

（5）［f（x）］min≥［g（x）］min.

這是能夠有效促進學生對恒成立和有解問題進行區分與重新認識的問題，設計的意義與價值都得到了很好的體現.

二、著眼于知識體系建構進行問題的設計

高三總復習階段將知識進行重新整合并使之形成完整的結構體系能使學生對知識之間的聯系產生更好的認識.富有啟發性的問題串在教師的精心設計下能夠使學生對知識體系重新建構并加強知識之間的縱向聯系“.一題多變”、“一題多用”、“多題歸一”等變化在這一階段是最為常見且實用的變式運用.

問題：已知函數（fx）=x3-4x2+4x.

（1）求（fx）的單調區間；

（2）求（fx）的極值.

變式1：已知函數（fx）=x3-4x2+4x，x∈[0，]的最大、最小值.

設計意圖：①求（fx）單調區間；②求（fx）的極值；③求（fx）的最值.

變式2：已知函數f（x）=x3-4x2+ax在區間（1，2）上為減函數，且在區間（2，+∞）上為增函數，求實數a的值.

設計意圖：明確x=2是函數的極小值點，a=4.

變式3：已知函數f（x）=x3-4x2+ax在區間（1，2）上為減函數，則實數a的范圍如何？

設計意圖：此變式的設計重在考查從已知函數的單調性如何對參數的取值范圍進行求解.f（x）=3x2-8x+a＜0對x∈（1，2）恒成立，二次函數的知識也在這一變式中得到了回顧.

變式4：已知函數f（x）=x3-4x2+4x，試證對任意的x1，

設計意圖：此變式的設計重在對化歸和轉化思想的考查，若函數（fx）在x∈[0，]上的最大值是m，最小值是n，只需證明|m-n|＜即可.

變式5：已知函數f（x）=x3-4x2，g（x）=a-4x，那么，實數a為何值時，上述兩個函數的圖像有且僅有三個公共點？

設計意圖：此題的變式重在函數和方程、數形結合、等價轉化等思想的考查.問題可轉化為f（x）=g（x）有三個根，即h（x）=x3-4x2+4x=a有三個根，由圖（此略）可知，a∈

變式6：已知函數f（x）=x3-4x2+4x，g（x）=8x2-16x-k（其中k為實數），若對于任意x1∈［0，3］總有x2∈［0，3］存在并能使g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范圍.

設計意圖：此題的變式重在對等價轉化思想、集合之間的包含關系以及函數值域等問題的考查，同例3的第（4）小問，-8≤k≤11.

上述案例中將一個基本問題進行了諸多變化并使得知識得到了系統的復習，復習效果自然是系統而有效的.

三、著眼于知識間的橫向聯系進行問題的設計

高三數學總復習最重要的是將已學知識之間的相互聯系搞清楚并將之綜合形成整體，然后使學生學會綜合運用的方法并因此提升學生對問題的分析與解決能力.因此，教師在復習教學過程中應在關鍵之處進行及時而精心的問題設計，使得知識之間的橫向聯系更為緊密并呈現在學生面前.比如，高三數學總復習中用向量的工具來研究直線這一問題，過兩點的斜率公式、兩直線垂直的充要條件、證明點到直線的距離等問題都可以借助向量的工具來進行研究，直線的方向向量與法向量在平面向量與空間向量的學習之后是可以明確的，即直線Ax+By+C=0（A、B不同時為0）的一個方向向量為（B，-A），法向量為（A，B），兩直線之間的位置關系運用它們來進行判斷當然是有效的.

幫助學生回顧舊知、加強知識之間的橫向聯系、進一步把握過程性知識、培養學生解決問題的綜合能力等教學目的在這些問題的提出與解決中都得到了很好的實現.

四、著眼于學生的自主探究進行問題的設計

能夠有效考查學生探究能力的試題在近年來的高考命題中備受青睞，因此，教師在高三總復習過程中應著眼于學生探究能力的培養進行問題情境的設計，使得學生在主動探究過程中逐步建構知識體系并因此形成自己獨到而牢固的理解.

例4 已知A（x1，y1），B（x2，y2），O為坐標原點且A、O、B不共線，請用點A、B的坐標來表示△AOB的面積.

這是一個符合學生思維“最近發展區”并能引發認知沖突形成的有效問題，學生思維得以激活的同時也使向量的相關知識與應用得到了極為有效的復習.

由此可見，好的問題與教學設計往往能使數學復習獲得事半功倍的效果，高三數學教師必須在問題的設計上仔細斟酌和鉆研并因此提升問題設計與教學活動的有效性.H