關(guān)注基本“套路” 建構(gòu)系統(tǒng)數(shù)學(xué)認(rèn)知

☉浙江省紹興市上虞區(qū)豐惠中學(xué) 許惠珍

我們都說“教學(xué)有法，教無定法”.這兩個(gè)“法”含義不同，前一個(gè)“法”是“規(guī)律”的意思，學(xué)科都有其自身的規(guī)律，學(xué)科的教學(xué)也有規(guī)律可尋，教師要遵循教學(xué)規(guī)律，實(shí)施課堂教學(xué).后一個(gè)“法”當(dāng)以“方式、方法”解，是具體的，以教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂活動(dòng)等形式體現(xiàn)出來.用當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)流行用語——“套路”來解釋這兩個(gè)“法”的含義是再恰當(dāng)不過了，按照百度百科的解釋，所謂的“套路”是指精心策劃的應(yīng)對某種情況的方式方法，使用該方式方法的人，往往已經(jīng)對該方式方法熟練掌握，并且形成條件反射，邏輯上傾向于慣性使用這種應(yīng)對方法應(yīng)對復(fù)雜的情況，心理上往往已經(jīng)產(chǎn)生對此方法的依賴性、對人有較深影響，使用某種特定不變的處理事件的方式，對一些情況下的處理方式形成“路數(shù)”，是名為套路.對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，“套路”痕跡更加明顯，解題有“套路”，備課有“套路”，學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念有“套路”……“套路”不僅貫穿于了數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，而且促進(jìn)學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知.

一、關(guān)注解讀教材的“套路”，明確“為什么學(xué)”

眾所周知，教材是課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)的具體體現(xiàn)，是完成教學(xué)任務(wù)的依據(jù)，而教師有效解讀教材是實(shí)現(xiàn)課堂有效、高效教學(xué)的前提條件，對學(xué)生綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要.簡而言之，就是教師要開展教學(xué)首先必須“入教材”，而后才能“出教材”，但當(dāng)前教材解讀還存在層次淺、目標(biāo)意識缺乏、個(gè)性化缺失、導(dǎo)向偏差等弊端，究其原因是教師不了解解讀教材的“套路”所導(dǎo)致的.解讀教材可以采用“解讀功能地位—解讀前后聯(lián)系—解讀編寫風(fēng)格”的套路展開，如圖1所示.

1.解讀功能地位

對于功能地位的解讀要做到“深入而全面”，既關(guān)注本節(jié)課的地位，又要關(guān)注整個(gè)章節(jié)，乃至在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中的地位.以“平面向量基本定理”為例，它在本節(jié)課的功能體現(xiàn)在任意一個(gè)向量都可以用另外兩個(gè)不共線的向量來表示；在整個(gè)平面向量章節(jié)中，它為向量的坐標(biāo)運(yùn)算提供了理論依據(jù)；對于數(shù)學(xué)體系而言，它體現(xiàn)了“化無限為有限”的數(shù)學(xué)思想，“化繁為簡，化多為少”一直是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要目標(biāo).

圖1

2.解讀前后聯(lián)系

數(shù)學(xué)原本就是一個(gè)整體，各個(gè)知識之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，前面知識的學(xué)習(xí)可以為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供必要的鋪墊，反過來后面知識的學(xué)習(xí)有助于促進(jìn)前面知識的進(jìn)一步理解.以“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”為例，通過對整個(gè)章節(jié)的教材解讀，我們會發(fā)現(xiàn)之前的“任意角”、“任意角三角函數(shù)”、“同角三角函數(shù)關(guān)系”都是借助單位圓模型進(jìn)行研究的，不出意外，在本節(jié)課中“誘導(dǎo)公式”的推導(dǎo)也是利用了單位圓.這到底是為什么呢？因?yàn)槿呛瘮?shù)是刻畫“圓周運(yùn)動(dòng)”的數(shù)學(xué)模型，三角函數(shù)是“圓”性質(zhì)的體現(xiàn).那么“單位圓”模型貫穿整個(gè)三角函數(shù)學(xué)習(xí)的過程也就容易理解了，后續(xù)的“三角函數(shù)圖像”、“兩角差的余弦公式”、“正弦、余弦定理”也都可以借助“單位圓”進(jìn)行研究.

3.解讀編寫風(fēng)格

對于同一章節(jié)內(nèi)容而言，教材編寫的風(fēng)格往往具有一致性.比如，立體幾何，教材編寫基本上都是遵循在解決實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)定義、在優(yōu)化定義中提煉定理、在思辨論證中內(nèi)化定理的套路；又比如，解析幾何，教材編寫則是按照在動(dòng)手操作中提煉幾何性質(zhì)、從幾何性質(zhì)中總結(jié)定義、利用定義推導(dǎo)方程、應(yīng)用方程解決問題的套路編寫的.熟悉了教材編寫的套路，教學(xué)也就可以參考套路進(jìn)行.

按照“套路”解讀教材，不僅提高了解讀教材的效率，節(jié)省了備課的時(shí)間，而且明確了“為什么”學(xué)的問題，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

二、關(guān)注研究數(shù)學(xué)對象的“套路”，明確“學(xué)什么”

很多教師在教學(xué)中非常關(guān)注知識點(diǎn)的“如何教”，比如，如何創(chuàng)設(shè)情景、如何設(shè)計(jì)問題鏈、如何提煉方法策略等，其實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅僅是掌握某個(gè)知識點(diǎn)，而是掌握認(rèn)識數(shù)學(xué)對象，研究數(shù)學(xué)對象的套路.因此，“教什么”比“怎么教”更為重要.一般的數(shù)學(xué)對象的研究是通過定義、表示方法、內(nèi)部邏輯關(guān)系、運(yùn)算性質(zhì)的套路依次展開的，如圖2所示.比如，在函數(shù)章節(jié)中，先學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義，然后是函數(shù)的表示方法、接下去就是函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性.讓學(xué)生事先知道數(shù)學(xué)對象的研究套路，有助于學(xué)生自主構(gòu)建，有助于課堂教學(xué)的自然生成.

圖2

教學(xué)案例：向量的數(shù)量積的引入片斷

圖3

圖4

首先，回顧向量的研究套路，如圖3所示.

意圖：通過回顧已有知識，總結(jié)向量研究的套路，發(fā)現(xiàn)后續(xù)研究的方向，這樣比直接給出“功”的概念，然后從中得出數(shù)量積的教學(xué)設(shè)計(jì)要自然得多.

問題1：從向量的運(yùn)算中，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

意圖：首先是向量具有類似于實(shí)數(shù)的“加減乘”運(yùn)算，每種運(yùn)算都有相應(yīng)的幾何意義與物理背景；其次運(yùn)算的結(jié)果既要考慮大小，又要考慮方向，學(xué)過的三種運(yùn)算的結(jié)果都是向量；最后，通過運(yùn)算能夠解決一些幾何問題，比如，平行、共線的問題都可以用向量的加減法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算加以解決.讓學(xué)生明確這些規(guī)律，激發(fā)他們對于運(yùn)算的進(jìn)一步思考.

問題2：你認(rèn)為向量還應(yīng)該具備怎樣的運(yùn)算？這個(gè)運(yùn)算能夠解決怎樣的幾何問題？

意圖：總結(jié)上述規(guī)律學(xué)生自然猜想還應(yīng)具有“乘法運(yùn)算”，即兩個(gè)向量相乘的運(yùn)算，至于結(jié)果是向量還是數(shù)量暫且不在考慮范圍之內(nèi).只需明確了學(xué)習(xí)的方向，接下去就是類比已有的運(yùn)算，尋找合適的物理背景、幾何背景來驗(yàn)證猜想的合理性，于是自然地引出了本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù).

三、關(guān)注教學(xué)方法的“套路”，明確“如何學(xué)”

教學(xué)中最忌諱的是“就課論課”，不會通過一節(jié)課的上法而總結(jié)出一類課的上法.因此，關(guān)注教學(xué)方法套路就顯得尤為重要.知道了某一類課的教學(xué)“套路”，教師就可以按照既定的路線圖，有條不紊地開展教學(xué).

例如，公式課，可以采取“公式的發(fā)現(xiàn)——公式的猜想——公式的驗(yàn)證——公式的應(yīng)用”的套路展開.比如，在正弦定理的教學(xué)中，就可以采用“公式課”的教學(xué)套路，具體如圖4所示.

當(dāng)然，根據(jù)公式的特點(diǎn)及相互之間的聯(lián)系，“公式課”的流程也進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.比如，余弦定理，同樣是公式課，在教學(xué)中就需要考慮和正弦定理的聯(lián)系，在“公式課”套路的大框架下，可以加入“探索公式間聯(lián)系”的內(nèi)容，研究余弦定理與正弦定理的聯(lián)系，揭示正弦定理與余弦定理具有同源性，明確它們是可以相互轉(zhuǎn)化.

例如，概念課，可以采用“概念的必要性——概念的合理性——概念的先進(jìn)性”的套路展開，比如，在弧度制教學(xué)中，我們可以采用這樣的套路，具體如圖5所示.

圖5

不僅可以根據(jù)不同的課型提煉相應(yīng)的套路，也可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容提煉教學(xué)套路，比如，三角函數(shù)的教學(xué)套路、圓錐曲線的教學(xué)套路、導(dǎo)數(shù)綜合問題的教學(xué)套路等.

我們都說“授之以魚不如授之以漁”，這里的“漁”指得就是“套路”.對教師而言，套路的豐富意味著教學(xué)智慧的增長；對學(xué)生而言，多樣化的教學(xué)套路有助于他們系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).H