基于學生的全國卷導數壓軸題解題分析*

☉福建省泉州第五中學 黃種生

全國卷導數壓軸題具有鮮明的特點，它立足基礎，表達簡潔，看似簡單，但比較靈活，構造性強，創新性好.在全國卷給出的標準答案中，有些解題思路是很好的，但有些解題思路比較唐突，跳躍大，在當年真實的高考情境中，學生根本想不到這些解題思路，因此，這些解題思路不是學生常規的解題思路，不具有代表性和一般性，但現實卻是，大部分研究者和教師是用全國卷提供的這些解題思路來思考和研究這些壓軸題的.由于全國卷的導向性和極大的被關注性，高考后的一段時間，這些解題思路便被大量的模仿和重復，以至于一些解題思路成為后來經典的解題思路，一些當年很難想到的解題思路，現在的教師和研究者認為當時的學生應該理所當然地會想到.這種情況導致一些相關的教學研究和教學評價脫離實際，甚至出現相反的評價，也使不少一線教師在講評這些題目時講法不適合學生的數學認知水平，出現了不少低效的教學.本文將基于學生的角度，用符合當年高考習題背景的、學生最容易想到的、常規的解題思路來分析這些導數壓軸題，以期能比較準確地反映學生真實的解題思路（哪怕這些解題思路不完整或行不通），揭示學生解題過程中會碰到的難點和重點，從而使我們的研究和教學對學生更有針對性.本文提供的解題思路有別于標準答案提供的思路，由于篇幅的原因，本文將不再給出這些題目的標準答案.又由于這些壓軸題的第一小問比較簡單，所以本文只針對這些題目的第二小問進行分析.

例1（2017年全國新課標卷Ⅰ理21）已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

圖1

所以，0＜a＜1.

解題思路二（分類討論法）：由（1）知，a≤0時，（fx）在（-∞，+∞）上單調遞減，（fx）不可能有兩個零點.當a＞0時，（fx）在x=-lna時取得最小值，最小值為（f-lna）=1+lna-.

當a≥1時，最小值（f-lna）≥0，（fx）不可能有兩個零點.當0＜a＜1時，最小值（f-lna）＜0，那么，此時（fx）會不會有兩個零點呢？這時，有兩種方法可以說明.

方法 1（用極限解釋）：當x→-∞時，e2x→0，ex→0，所以（fx）→+∞.當x→+∞時，e2x，ex，x趨向于正無窮大，因高一課本指出，ex是指數型的，是爆炸型的，它的增長速度遠大于x的增長速度，而e2x的增長速度又遠大于ex，所以x→+∞時，（fx）→+∞.所以（fx）有兩個零點.綜上，a的取值范圍是（0，1）.

方法2（放縮法）：當0＜a＜1時，最小值（f-lna）＜0，當x＜0時，（fx）=ae2x+（a-2）ex-x＞（a-2）ex-x＞（a-2）-x，因此，當x＜a-2時，（fx）＞0.而當x＞0時，（fx）＞ae2x+（a-3）ex=（aex+a-3）ex，當aex+a-3＞0，即x＞ln （-1）時，（fx）＞0.所以f（x）有兩個零點.綜上，a的取值范圍是（0，1）.

說明：本題第（2）問與2016年全國新課標卷Ⅰ理21題第（1）問基本相同，因此，以上兩種解題思路均可用在2016年全國新課標卷Ⅰ理21第（1）問上.

例2（2010年全國新課標卷理21）設函數f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；

（2）當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）看到題目的條件，學生首先想到的是分離參數法.當x=0時，f（0）=0，命題成立.當x＞0時

令h（x）=（x-2）ex+x+2，則h（′x）=（x-1）ex+1.

由于h′（x）在（0，+∞）上單調遞增，且h′（0）=0，所以x＞0時，h（′x）＞0，h（x）單調遞增，又因為h（0）=0，所以x＞0時，h（x）＞0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增.所以只需a≤g（0）即可.這時學生發現g（0）=，這已超出高中的知識范圍，學生做不下去了，于是只能去想其他的方法.

高中老師發現，這時候只要利用洛比塔法則就可以得到結論，因為.所以自從有了這道高考題后，高中老師一直都在討論，要不要教給學生洛比塔法則，至令尚無定論.

如果不用洛比塔法則，上述方法就沒用了，于是不少教師在講解這道題時，就不講解上述方法了，而是直接講解帶參分類討論法，即標準答案提供的方法.而作者認為，這是學生最容易想到的方法，是學生真實的解題思路，是學生解這道題時會碰到的實際困難，因此作者在講解時，總是先講這個方法，再講解帶參分類討論法.這種講法符合學生的認知特征，事實上是在向學生展示一種解題方法的產生和發展過程，雖然講解時會多花些時間，但講解的效果很好.另外，2010年時，導數成為高考內容的時間不長，相關的壓軸題還不多，大部分考題和練習題只停留在分離參數法上，很少有這種帶參分類討論法的題目，全國卷的這道題在當年的創新性是很強的.

例3（2013年全國新課標卷Ⅰ理21）設函數f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）.若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（1）求a，b，c，d的值；

（2）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）解題思路一：（分離參數法）

由（1）知x≥-2時，f（x）≤kg（x）等價于x≥-2時，x2+4x+2≤2kex（x+1）.

當-2≤x＜-1時，2k≤h（x），h′（x）＞0，h（x）在［-2，-1）上遞增，h（x）的最小值是h（-2）=2e2，所以2k≤2e2，k≤e2.

綜上，k的取值范圍是［1，e2］.

解題思路二：（帶參分類討論法）

由（1）知x≥-2時，f（x）≤kg（x）等價于x≥-2時，2kex（x+1）-x2-4x-2≥0，令h（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，則h′（x）=2（x+2）（kex-1）.

①當k≤0，x＞-2時，h′（x）＜0，h（x）遞減，由h（0）=2k-2＜0知，不合題意.

②當0＜k＜e2時，-2＜x＜-lnk時，h′（x）＜0，h（x）遞減.x＞-lnk時，h′（x）＞0，h（x）遞增，h（x）的最小值是h（-lnk）=-（lnk）2+2lnk.由h（-lnk）=-（lnk）2+2lnk≥0得1≤k≤e2.

③當k=e2時，h′（x）=2（x+2）（ex+2-1）＞0，又h（-2，-1）=0，則x＞-2時，h（x）＞0.符合題意.＜0知，不合題意.

綜上，k的取值范圍是［1，e2］.

解題思路三：（特殊值法）

由（1）知x≥-2時，f（x）≤kg（x）等價于x≥-2時，2kex（x+1）-x2-4x-2≥0，令h（x）=2kex（x+1）-x2=4x-2，，得k≤e2；由h（0）=2k-2≥0，得k≥1.所以1≤k≤e2.

然后，用與思路二類似的方法，證明當1≤k≤e2和k-e2時符合題意.所以1≤k≤e2.

（1）求a，b；

（2）證明：f（x）＞1.

（2）解題思路一：（放縮法）由（1）知，a=1，b=2，f（x）=，由于要證明的不等式中同時出現直接求導數，運算上有些困難，故考慮用放縮法.要證明（fx）＞1，即證明（exlnx+2）＞1，由于ex-1≥x＞0，所以≥1，所以又只需證exlnx+2≥1，只需證明xlnx+≥0且等號不在x=1處取得.令 g（x）=xlnx+，g（′x）=lnx+1，當0＜x＜時，g（′x）＜0，g（x）遞減，當x＞時，g′（x）＞0，g（x）遞增，所以g（x）≥g （）=0，當且僅當x=時取等號.

綜上，不等式成立.

解題思路二：（設而不解法）由（1）知，a=1，b=2，f（x）

由Δ=e2-12e+4＜0知，ex2-（e+2）x+4＞0恒成立. 所以x＞0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調遞增，又因為

當x∈（x0，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增.

解題思路二是常規的解題思路，學生平時做過類似的題目，這種思路對學生很自然.但在本題中，這種思路的運算量大，思維量也大，很多學生做不出來.教師用這個方法來講解，可以幫助學生解決做題中的實際困難，對培養學生分析問題和解決問題的能力，培養學生的數學運算能力，培養學生堅毅的品格都有很大的幫助，而且有助于學生淡化解題技巧，注重通性通法.但考慮到學生的接受能力，課堂上講解的效果不一定會很好，它更適合在課外與優秀學生進行探討.

而標準答案提供的方法是把不等式分為兩個函數，然后證明一個函數的最小值等于另一個函數的最大值，而且這兩個最值在不同處取得.這種方法跳躍性很強，學生不容易想到.作者在2014年和2015年間，曾分多次把這道題給230名學生和12位數學老師做，結果，用了一個晚上的時間，沒有一個學生或教師會想到標準答案提供的方法.

例5（2016年全國新課標卷Ⅰ理21）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

解析：（1）略.

（2）解題思路：（極值點偏離問題）注意到x=1是函數f（x）的極小值點，所以可以用極值點偏離問題的通法解決.令g（x）=f（x）-f（2-x）=（x-2）ex+xe2-x，則g′（x）=（x-1）·（ex-e2-x）.當x＜1時g′（x）＞0，g（x）在（-∞，1）上單調遞增，又因為g（1）=0，所以g（x）＜0.

不妨設x1＜x2，由（1）知，x1＜1，x2＞1，所以g（x1）=f（x1）-f（2-x1）＜0，所以f（x1）＜f（2-x1）.

又因為f（x1）=f（x2）=0，所以f（x2）＜f（2-x1）.

又因為x2＞1，2-x1＞1，且f（x）在（1，+∞）上單調遞增，x2＜2-x，x1+x2＜2.

這種方法表面上看與標準答案類似，但它具有通用性，只要滿足f（x1）=f（x2）=a就可以證明，而且這種方法考前學生做過，難度不大.

在面對高考導數壓軸題時，學生會先想到一些常規思路，但用這些常規思路仍然不能完整地解決這些壓軸題，學生仍然有許多困難，上面給出的正是這些常規思路的基礎上，克服困難完善起來的解題思路，雖然它們有的并不完美，有的還有些煩瑣，但它們立足于學生真實的解題思路，能解決學生在解題過程中碰到的實際的困難，能提高學生學好數學的信心.只有教師用這些思路分析題目和講解題目后，再講解標準答案提供的方法，學生才會有一種去疑解惑、夯實基礎的感覺，才會有一種豁然開朗的體悟，才會對自己的主動學習加以肯定，從而養成自主學習的良好習慣.教師的這種基于學生真實的解題思路進行研究，進而選擇適合學生的解題方法進行教學，是“學生是主體”的教學理念在數學教學實踐中的體現，它的教學效果是很好的，值得在平時的教學中推廣.F