青海省藏漢雙語高中生三角函數解題錯誤層次調查研究

才讓加

【摘要】學生在學習數學的過程中，在某種程度上會不可避免的出現解題錯誤，但是在學習過程中我們又希望學生能夠很好地掌握相應的知識，提高數學能力，從而降低解題錯誤。三角函數是高中數學的重要內容之一，它既能聯系代數又能聯系幾何，可將復雜的數學問題簡單化，因此，研究學生在學習三角函數過程中出現的錯誤，對其進行歸類，并分析其形成的原因，具有很重要的意義。從目前的研究資料來看，研究關于藏漢雙語高中生三角函數解題錯誤的文獻很少，因此筆者編制了三角函數測試卷，對青海省六州藏漢雙語高中生三角函數解題能力進行了測試，按解題的一般順序——閱讀、理解、轉換、操作、編碼中出現的錯誤程度進行了統計，進而用SPSS 20.0對數據進行了分析，得出藏漢雙語高中生在解決三角函數問題時，出現的錯誤層次以理解、編碼、操作、閱讀、轉換而遞增，未能成功解題的主因在于不能把文字轉換成數學模型，不能選取合適的解題策略。

基于以上研究結論，筆者反思了青海省六州民族高級中學的數學教學狀況，特別對藏漢雙語三角函數教學提出了幾點建議。

【關鍵詞】藏漢雙語 三角函數 解題錯誤 研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）06-0125-02

一、研究的背景及問題

函數的思想深刻、應用廣泛，是高中教學內容的核心部分，其與數列、方程、導數、幾何，以及不等式等內容相互滲透，且函數的思想滲透在整個高中的全部過程中。而三角函數又是一類特殊的函數，歷來是高中數學的重要內容之一，也是學生在高中階段必須掌握的基本初等函數。

在藏漢雙語教學過程中，以教學質量而言提升的幅度是非常的緩慢。尤其是學生在學習三角函數這一內容時，經常會遇到很多問題，常常會出現解題錯誤。那么青海省藏漢雙語高中生的數學成績難于提高的主因在哪里？特別是學生在學習三角函數時出現的錯誤是什么？因此探索藏漢雙語高中生在三角函數學習過程中存在的問題，并分析其產生的原因，就顯得尤為重要。

學生在解決問題時出現錯誤是有一定的合理性的，如果積極和科學地分析其合理之處，變可有“化腐朽為神奇”的效果，分析其出現的原因、性質，逐步“將錯為正”，將“正確”建立在“錯誤”之上，相信同學們對原先錯誤的解題和現在正確的解題都有很深刻的理解。

錯誤在哲學中定義為：錯誤同正確對立，是指主體與客體規律不相一致的認識或實踐，顯然，此處的錯誤是一種不正確的觀點和行為。錯誤不僅在哲學中出現而且在其他學科，以及在日常生活中也會出現。在《現代漢語詞典》中將錯誤解釋為不正確的，與客觀事物不相符的思想，或者是不正確的行為、事物等。

錯誤在數學教育中，由于數學本身的特點，沒有人直接對數學錯誤給出了直接的定義，但對錯誤有一些簡單的論述：鄭毓信在《數學教育的現代發展》一文中有這樣的論述：有些教師將學生在具體的學習過程中產生的不同于“標準觀念”的想法或做法視為錯誤。此處的“標準觀念”指的是教材、專家及自身的觀念。Brousseau不認為錯誤是失誤或偶然的現象，而是對前知識的學習發生興趣的表現。

二、國外對高中生三角函數解題錯誤研究的綜述

國外對學生的解題錯誤是從學生算術錯誤的診斷開始入手的，早在1925年美國學者buswell與judd用了長達30多年的時間對學生的算術錯誤進行診斷，其后，德國和蘇聯等國家也相繼加入了此研究的行列。

傳統的觀點認為，錯誤是沒有任何益處的，學生犯錯也就意味著其成績是不理想的。如skinner認為應該避免錯誤，因為錯誤會浪費其完成任務的時間。但隨著學者們對錯誤的不斷研究，逐漸認識到錯誤不僅可以加深學生對數學知識的理解，而且教師也可糾正自己的教學方法。如Borasi認為學生在學習的過程中所出現的解題錯誤是對其已有認知結構的再調整的結果，所以教師可以通過學生的思考及錯誤的解題，從而可以提供一條更有效的補救方案。

亨德里克思從心理學的角度對學生的錯誤進行了研究，總結出學生犯錯的原因有語言困難、空間想象力不足、已有知識經驗的不足、思維定式的影響、不恰當的應用或推廣等五個方面。

澳大利亞的心理學家紐曼（Newman）針對一步計算的文字題于1977年提出把學生的解題錯誤按解題過程分成以下五個層次：①閱讀能力；②理解；③轉換；④運算技能；⑤呈現答案（見表1）。

Watson在1980年發表的《Investigating errors of beginning mathematicians》中認為紐曼（Newman）的錯誤分析理論適用于大量的數學問題，該錯誤分析理論是建立在學生是如何解答數學問題的一個合理的數學模型的基礎上，此模型在不同的解題階段出現的解題失敗表現出不同的解題錯誤。此后很多研究者將紐曼（Newman）錯誤分析理論應用到各個領域。Ellerton對206名初中生在解決數學文字題的困難類型做了調查，得出了70%以上的同學出現的解題錯誤來源于理解題意錯誤和選擇解題策略錯誤。

紐曼（Newman）的錯誤分析理論比較成熟、完善，借鑒的研究成果也比較多。如Clarkson、Prakitipong& Nakamura、Zakaria&Maat;、黃興豐和郝玲等在研究中應用了紐曼（Newman）解題錯誤分析理論。

三、國內對高中生三角函數解題錯誤研究的綜述

數學是在問題解決的過程中產生的，并且也是在解決問題的過程中完善和發展起來的。我國歷來對解題教學很重視，很多學者在這方面有著很深的研究。如單墫教授所說的“數學的習題，不僅用來鞏固所學的知識，還可以培養能力，發展智慧。所以，通過解決問題，能夠更好地掌握數學的內容、意義和方法 。”

戴再平在《數學習題理論》中認為，在數學的解題中，學生所表現的錯誤是多樣的，為了更有效地利用好這些錯誤，必須對各種錯誤進行歸類和分析，但由于產生錯誤的原因和復雜程度，以及錯誤表現形式的多樣性，因此要有不同的標準對錯誤進行不同的分類。并將錯誤分為閱讀理解、轉碼、加工技能、策略選擇、編碼五種。

向正凡在《辨析中學生數學解題錯誤與培養數學解題能力的研究》一文中把數學解題錯誤分為曲解題意的錯誤、擬定方案的錯誤、執行方案的錯誤、回顧與反思的錯誤四類。

黃興豐在《初中生在幾何解題中所出現錯誤的調查研究》一文中把解題中發生的錯誤分為閱讀理解、轉碼、加工技能、策略選擇、編碼五種。

王志英在《普高學生數學解題錯誤的成因分析與對策研究》一文中將學生在解題過程中出現的解題錯誤分為心理性錯誤、概念理解性錯誤、運算性錯誤、審題性錯誤、邏輯性錯誤。

魏述強在《基于學生錯誤的試卷講評模式的行動研究》一文中以紐曼（Newman）錯誤分析理論為基礎，結合自身的教學經驗將學生在解決解析幾何題時可能出現的錯誤分為閱讀理解錯誤、選擇解題策略錯誤、數學轉換錯誤、技能加工錯誤、數學編碼錯誤。

表2表示Borasi在1989年將錯誤進行分類，Borasi認為在分析學生的錯誤時，可以提供機會使學生進行優異的數學活動；通過識別錯誤，可以強調新的方面或解釋意外的元素；關注和處理錯誤的經歷可以使學生在今后的數學活動中更為謹慎，能夠對作業的正誤進行核對等作用。Borasi對數學學習的錯誤，以及對錯誤分析的觀點與看法是新穎與深刻的。

從以上國內外學者對解題錯誤的研究來看，不僅對研究的領域在不斷的擴大，而且對解題錯誤的理解以及出錯原因的認識也在不斷地變化。更多的教師意識到解題錯誤不僅僅是對學生的“診斷”和“治療”，更應將其視為一種教學資源，總之，學生的解題錯誤值得我們去研究，尤其是導致學生出錯的原因和價值更值得我們去深入的探討。

四、藏漢雙語教學現狀綜述

才科扎西在《甘青川三省藏漢雙語數學教學現行模式評述》一文中指出藏漢雙語教學模式有兩種，第一模式為本民族語言文字授課為主，單科加授國家通用語言文字，第二模式為國家通用語言文字授課，單科加授本民族語言文字。

才果在《青海藏區藏漢雙語教學發展與思考》一文中認為青海民族教育的難點是藏族教育，而藏族教育的難點又在于藏漢雙語教育。該文對青海藏區雙語教育提出了建立藏漢雙語民族幼兒園、高考中增加藏漢雙語招生人數、大力發展藏漢雙語職業教育、大力培養藏漢雙語理科師資、加大投入藏漢雙語教育的經費等五點建議。

索南仁欠老師在《青海藏漢雙語教學現狀及建設》一文中從教學模式、師資隊伍、教材建設等方面對青海省藏漢雙語的教育現狀進行了總結，并認為應科學地定位雙語教師的培養目標、優化雙語教師的培養層次、科學地推進雙語教材的建設進度、完善雙語教師的評估體系、完善雙語教師的培訓等建議。

扎洛老師在《制約少數民族雙語數學教育質量的主因分析》一文中人深入地探討了制約青海少數民族雙語教育質量的主因是雙語教師的學科專業素質，教師素養成為提升藏漢雙語教育教學質量的瓶頸。

從以上各位學者的研究來看，不難發現，關于藏漢雙語的研究主要集中在大的方向，而對藏漢雙語教學中每個學科比如：數學、物理、化學等方面的研究甚少，特別是對中學數學中各個模塊的研究更是少之又少。進而學生在學習三角函數時會出現那些錯誤？在解決關于三角函數的問題時，學生會應用哪些知識模塊？在解題過程中思維出現障礙時，會做出怎樣的反應等方面的研究是非常的少。

五、研究目的、對象及方法

通過研究青海藏區六州藏漢雙語教學高中生在學習三角函數這一內容時所存在的解題錯誤和出現這些錯誤的原因，以此來拋磚引玉，吸引更多的研究者來研究這一問題，進而提出改進教師的教學策略，以及提高學生的解題及自我反思能力，從而提升學生的數學解題能力。

青海省共有六個藏族自治州，根據青海省教育的布局調整，初步形成了村辦幼兒園、鄉辦小學、縣辦初中、州辦高中的狀況，本研究選取的調查對象是青海省藏區六州每州一所民族高中，含蓋了所有的藏族自治州，覆蓋面100%，樣本具有較好的代表性。本次測試卷共發放521份，回收500份。測試卷作答時間為90分鐘。

本研究所采用的是測試卷的調查方式，測試卷分為藏漢兩個版面并進行了雙語對照，并用SPSS（20.0）數據軟件統計、分析、處理問卷的數據與結果。

六、研究的結論及建議

1.研究的結論

（1）樣本數據的相應分析

對于本次測試的數據筆者應用spss（20.0）進行了相應分析，得出：青海藏區雙語教學高中生在解決三角函數問題時，解題錯誤以理解、編碼、操作、閱讀、轉換的順序而遞，即：未能成功解題的主因在于不能把文字轉換成數學模型，不能選取合適的解題策略。

（2）區間段數據的相應分析

對于青海省藏漢雙語教學高中生在解決三角函數問題時出現的錯誤，筆者根據測試情況，將其分為十個區間，即：[0，10]、[11，20]、[21，30]、[31，40]、[41，50]、[51，60]、[61，70]、[71，80]、[81，90]、[91，100]具體統計情況如下：

1）成績處于[0，50]的高中生在解決三角函數問題時，在閱讀這一環節沒有過關，即：沒能辨別關鍵的字詞和符號成為不能把問題正確地解決的關鍵。

2）成績處于[51，90]的高中生在解決三角函數問題時，錯誤主要出現在理解這一過程，即：能夠閱讀問題但不能準確理解關鍵字詞、符號和問題的真正含義，從而出現錯誤。

3）成績處于[91，100]的高中生在解決三角函數問題時，解決問題的錯誤以理解、閱讀、轉換、編碼、操作為序而遞增，即：沒能將問題成功地解決的關鍵在于能夠找到一個合適的解題策略，但不能正確地進行數學操作。

2.建議

成績處于[0，50]的學生在解題過程中閱讀錯誤的秩均值偏高，由于閱讀是基礎，基礎不牢，山動地搖，出現閱讀錯誤而不能辨別關鍵的字詞和符號，進而不能理解關鍵字詞、符號和問題的真正含義，即出現理解錯誤，所以導致轉換、操作等一系列錯誤，這就要求數學教師在以后的數學教學過程中不僅要講透數學專業知識而且要講清數學關鍵詞和關鍵術語，指導學生經常閱讀數學讀物，提高學生的閱讀能力。成績處于[51，90]的學生在各個解題過程中呈現的秩均值偏高的理解，雖然能夠閱讀問題，但理解出現偏差，不能準確理解關鍵字詞、符號和問題的真正含義，這就要求教師加強培養學生的數學抽象、推理、模型等基本數學思想，以培養學生的理解能力。成績處于[91，100]的學生在各個解題過程中呈現的秩均值偏高的是操作，由于出現操作錯誤，所以學生在解題過程中能夠找到一個合適的解題策略，但不能正確地進行數學操作，從而出現解題錯誤，這就要求教師經常指導學生注意整理、歸納解題方法，進而提高學生的運算操作技能。

參考文獻：

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