賞析經(jīng)典課例，感悟“三學(xué)”要義
——李庾南老師“等腰三角形（第1課時(shí)）”賞析

☉江蘇海安縣城東鎮(zhèn)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉才云

經(jīng)由媒體報(bào)道，我們關(guān)注到“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法第2期全國(guó)研修活動(dòng)在南通市啟秀中學(xué)成功舉辦，會(huì)上全國(guó)著名特級(jí)教師李庾南老師在專(zhuān)家報(bào)告中詳細(xì)解讀了“三學(xué)”（即學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成），特別是結(jié)合大量課例講解了學(xué)材再建構(gòu).筆者在近年來(lái)《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）讀到很多有關(guān)李老師課例的文章，受益頗多，借此機(jī)會(huì)也把研習(xí)李老師著作中相關(guān)課例的一些心得與大家分享，供研討.

一、“等腰三角形（第1課時(shí)）”教學(xué)課例

教學(xué)環(huán)節(jié) （一） 回顧軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義和軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，引出定義.

1.（PPT展示）如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形就叫作軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.

2.（PPT展示）由軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義可知，軸對(duì)稱(chēng)圖形被對(duì)稱(chēng)軸分成的兩個(gè)圖形全等.

研究等腰三角形，先給出定義（PPT展示）：有兩邊相等的三角形叫作等腰三角形.

如圖1，AB=AC?等腰△ABC.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 實(shí)驗(yàn)操作，觀察、思考、生成命題.

1.折疊等腰三角形紙片，有什么發(fā)現(xiàn)？（個(gè)人思考，全班交流）

整理：如圖2，等腰三角形對(duì)折→折痕兩旁的三角形完全重合→兩個(gè)全等的小三角形.

并跟進(jìn)梳理一些邊和角的等量關(guān)系，通過(guò)追問(wèn)，師生互動(dòng)得出如下關(guān)系圖（如圖3）.

2.總結(jié)命題：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

（2）等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 由合情推理到邏輯推理，證明等腰三角形的性質(zhì)命題.

針對(duì)性質(zhì)命題1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

師生共同分析：

題設(shè)：等腰三角形的兩個(gè)底角；

結(jié)論：這兩個(gè)底角相等.

進(jìn)一步師生合作畫(huà)出圖形，寫(xiě)出“已知”和“求證”.

已知：如圖4，△ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C.

教學(xué)預(yù)設(shè)：師生共同研究證題思路：構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì).

難點(diǎn)預(yù)設(shè)：如何添加輔助線？（學(xué)生獨(dú)立思考基礎(chǔ)上，全班交流討論）

思路1：折痕抽象為底邊上的高.

如圖5，作底邊上的高AD.

思路預(yù)設(shè)如下：

Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.

思路2：折痕抽象為底邊上的中線.

如圖6，作底邊上的中線AD.

△ABD≌△ACD（SSS）.

思路3：折痕抽象為頂角平分線.

如圖7，作頂角∠BAC的角平分線AD，交BC于D.

預(yù)設(shè)思路如下：

△ABD≌△ACD（SAS）.

總結(jié)概括：（小組學(xué)習(xí)、全班學(xué)習(xí)）

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理，完善如下的板書(shū).

定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）

如圖1，在△ABC中，AB=AC?∠C=∠B.

定理2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

（2）如圖8，等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是頂角平分線所在直線（或底邊上的高所在直線，或底邊上的中線所在直線）.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 特殊的等腰三角形——等邊三角形的性質(zhì).

由等邊三角形的定義和等腰三角形的性質(zhì)推出等邊三角形的性質(zhì).

（PPT出示圖9）

師生合作得出等邊三角形的性質(zhì)：

1.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；2.等邊三角形每條邊上的三條線段都互相重合；3.等邊三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸，是過(guò)三邊中點(diǎn)的垂線.教學(xué)環(huán)節(jié)（五） 定理運(yùn)用，例、習(xí)題講評(píng).

（1）等腰三角形中有一個(gè)角是40°，則它的頂角是______；

等腰三角形中有一個(gè)角是110°，則它的頂角是______，底角是______；

等腰三角形的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且它的周長(zhǎng)為11cm，那么它的三邊長(zhǎng)為_(kāi)_____.

（2）如圖5，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，BC=6cm，若AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠BAD=____°，∠ACB=____°，BD=____cm.

教學(xué)環(huán)節(jié)（六） 師生小結(jié).

1.等腰三角形除了具有一般三角形的一切性質(zhì)，還具有軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，反映出兩條性質(zhì)定理.

2.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).

二、課例賞析

1.深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)材再建構(gòu).

教材上“等腰三角形（第1課時(shí)）”通常是先學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)，第2課時(shí)學(xué)習(xí)判定，第3課時(shí)學(xué)習(xí)等邊三角形.但是李老師基于深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的高度，將第1課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容增加了等邊三角形，將等腰三角形特殊化后就順利得出等邊三角形的諸多性質(zhì)，體現(xiàn)了她學(xué)材再建構(gòu)的深厚功力.

2.精準(zhǔn)理解學(xué)生難點(diǎn)，學(xué)法三結(jié)合.

通過(guò)理解學(xué)情與明辨教學(xué)難點(diǎn)，李老師將這節(jié)課的教學(xué)用力點(diǎn)主要放在定理的證明上.由于等腰三角形“等邊對(duì)等角”比較容易理解和接受，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)常運(yùn)用，但是深入追問(wèn)背后的道理與證明，這是初中幾何教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).難點(diǎn)首先在學(xué)生要把命題的題設(shè)與結(jié)論恰當(dāng)表示出來(lái)，并以圖形、符號(hào)語(yǔ)言的方式寫(xiě)出來(lái)，再開(kāi)展證明.證明時(shí)，由于不同的輔助線證明路徑也不一樣，這時(shí)李老師通過(guò)不同的證明路徑的預(yù)設(shè)，為我們示范了“學(xué)法三結(jié)合”，即學(xué)生獨(dú)立自學(xué)、小組交流、大組全班展示.

3.精心預(yù)設(shè)開(kāi)放教學(xué)，學(xué)程重生成.

鄭毓信教授倡導(dǎo)的開(kāi)放教學(xué)，是指利用開(kāi)放式問(wèn)題通過(guò)對(duì)話與互動(dòng)，把學(xué)生的思維打開(kāi)，不限制學(xué)生的思路，但是學(xué)生的回答往往又在教師可控的范圍之內(nèi)，能恰當(dāng)?shù)鼐劢乖谡n堂教學(xué)目標(biāo)上.從上面的課堂問(wèn)題與教學(xué)環(huán)節(jié)中的一些預(yù)設(shè)活動(dòng)來(lái)看，李老師預(yù)設(shè)了不同的證明思路和路徑，使得學(xué)生不論出現(xiàn)哪種思路都會(huì)在她的“掌控”之下，而且三種思路全“引出”之后，又可在“殊途何以同歸”的追問(wèn)之下，讓學(xué)生自然而然地得出等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，這正所謂“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的教學(xué)藝術(shù).

1.李庾南，祁國(guó)斌.自學(xué)·議論·引導(dǎo)：涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要范式［J］.課程·教材·教法，2017（9）.

2.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

4.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.W