把課堂“還給”學生

徐浩

二次函數是初中數學的重難點，與其他知識的結合自然且靈活多變，是幫助學生全面深入理解“函數”這一概念以及加強學生思維訓練的合適內容. 我校初中數學實行分層教學，筆者執教的是最高層次S層，本堂習題課選擇了一道經典的二次函數與直角三角形相結合的綜合問題，題目設置不難，學生容易入手. 為了充分挖掘題目價值，讓課堂“思維流量”最大化，筆者決定把課堂“還給”學生，讓學生主講，將他們的思維充分展現出來，適時加以引導和點撥，激發學生自主探究精神，提升他們解決問題的能力.

一、課堂實錄

（下發學案）

已知：如圖1，一次函數y=x+1的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數y=x2+bx+c的圖像與一次函數y=x+1的圖像交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為（1，0） .（1）求二次函數的解析式；（2）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由.

師：請同學們用8分鐘時間思考和完成這道習題.

（8分鐘后）

師：本題第1問比較基礎，考查二次函數解析式的求解，請同學直接上臺板書答案.

（生1板書答案：y=x2-x+1）

師：答案正確嗎？

生齊：正確.

評析：選擇學生板書，而不是口答，目的在于強調書寫的規范.

師：第2問考查“點是否存在”的問題，請問做此類題型，我們需要注意哪些問題？

生2：可以先假設存在符合條件的點P，然后驗證它的合理性，并且往往求出來不止一個點；這里點P在x軸上，所以它的縱坐標一定是0，因此可以設P（a，0）.

生3：這里要求直角三角形，而不是我們最常見等腰三角形，并且題目已經限定直角頂點是點P，那么不需要分類討論了.

師：兩位同學分析的十分到位，認真審題和針對此類題型積累的經驗會對解題非常重要.

評析：從學生角度分析題干和總結題型經驗會給他們留下更加深刻的印象.

師：老師在巡查大家做題的過程中發現幾種不同的做法，那請同學們上臺講解自己的做法.

（生4上臺，投影自己的學案）

生4：我先假設點P存在，并在x軸上為它取一個大概的位置，再連接BP和CP. 由題意知∠BPC=90°，那么由勾股定理可得到：BP2+CP2=BC2，而BP、CP和BC的長度均可根據坐標系中“兩點距離公式”寫出來，從而得到關于a的方程：1+a2+9+（4-a）2=20，化簡后為a2-4a+3=0，解得a1=3，a2=1，所以存在符合題意的點P，且有兩個，坐標分別是P1（3，0）、P2（1，0）.

（全班掌聲）

師：請問有多少同學用這個方法？（學生舉手）一多半同學。的確，提到直角三角形，我們很快能想到用勾股定理，其中運用“兩點距離公式”時需要認真計算. 用其他方法解題的同學請上臺展示.

生5：我是這樣做的：過點C向x軸作垂線CH，發現有“一線三等角”模型，因此我用相似三角形對應邊成比例計算，我列的等量關系是=，這些線段長度都很容易表示出來，因此列方程 =，化簡后也是 a2-4a+3=0，答案和上一個同學一樣.

（全班掌聲）

師：很棒的發現，原來相似三角形無處不在。但是老師這里需要提醒：方程=是一個分式方程，因此求解過程大家不要忽略了“檢驗”這一步. 我聽見下面有同學說還有方法，有請上臺.

生6：我們知道如果兩條直線垂直，那么它們解析式的斜率乘積就是-1，即 KBP·KCP=-1，我計算得到KBP=-，KCP=，所以有方程=-1，化簡后也是a2-4a+3=0.

（全班掌聲）

師：從大家熱烈的掌聲中，老師聽出了同學對這種方法的認可. 的確，坐標系中垂直直線斜率的關系往往為求解直角三角形的問題帶來新的思路.

生7：老師，這個“斜率乘積為-1”的結論考試中能直接用嗎？教材上沒有講到.

師：可以的，雖然這是高中教材上的知識點，但知識是相通的，可以“提前”使用. 同學們腦洞大開，提出了三種解法，相信大家已經很有收獲了，謝謝上臺展示的同學們.

生8：老師，我好像又想到一種方法，但不知道行不行？

師：沒關系，你來講一講，同學們掌聲鼓勵.

（全班掌聲）

生8：我們剛學了圓的知識，知道了圓的直徑所對的圓周角是直角，那么點P就一定在以BC為直徑的圓上.

師生齊（驚喜）：是的，對的.

生8：呃，可是我還沒想到怎么計算.

師：沒關系，能聯想到圓的性質已經很厲害了. 老師也沒想好怎么計算，那我們再花幾分鐘時間想一想這個辦法能否行得通. 開始！

（2分鐘后）

生9（激動）：老師，行得通，我做出來了.

師：太好了，那你來完成它.

生9：以BC為直徑的圓的圓心在BC的中點，標上點M，那么MP就是半徑，即MP=BC，點M的坐標可以用 “中點坐標公式”計算，也就是（2，2），然后用“兩點距離公式”寫出EP和BC的長度，列出方程 （2-a）2+22=5，化簡后還是 a2-4a+3=0.

（全班掌聲）

生10：老師，用“直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半”也能解釋這個問題.

師：是的. 直徑BC、弦BP和CP圍成的直角三角形，這時半徑MP則為斜邊BC上的中線. 大家看，這些知識的聯系還是非常緊密的. 對于這個二次函數和直角三角形的綜合題，大家表現非常好，一共想到了四種解法，不愧是S班的學生. 這里老師給大家留一個課后作業：若將題目中“以點P為直角頂點”的字樣去掉，那么答案又是怎樣？請大家至少用兩種方法求解.

評析：全程展示學生的成果，配合他們自己的講解，充分將學生的做題思路和思維方式展現出來. 學生成為課堂的主人，充分體現其主體地位；教師適當點評和引導，不失其課堂主導作用. 面對預設外的課堂生成，教師靈活積極地處理，而非“避而不談”，使得學生收獲信心、得到啟發，課堂不失靈氣. 因勢利導地安排課后作業，激發學生 “二次思考”，達到落實和提高的效果.

二、教學反思

1. 學生是課堂的主體

“新課程”理念的不斷推進，要求教師不斷更新觀念，轉變角色，改變課堂中注重知識傳授的傾向，讓學生學會學習，學會合作，倡導學生主動參與，在教學中尊重學生，凸顯學生的主體地位. 課堂上教師把時間和空間讓出來，學生帶著興趣思考和展示，充分發揮自己的想象，在相互評價與質疑中得到拓展與提升. 教師不再是課堂的主體，但并不意味著喪失主導權. 教師精心備課、合理預設、適時點撥以及靈活應對是保證課堂上學生思維活躍、學習過程詳略得當、教學結構完整有序的基礎，從而教師之于課堂的“舵手”作用得以彰顯.

2. 課堂生成是課堂的資源

教師每天面對的是一群充滿活力、充滿個性的“生命體”，教師的課堂總處于一種變化的狀態中，通過預設和對話促使課堂生成，不斷加強對課堂生命和課堂生成狀態的思考正是我們執著的追求.本文課堂實錄中“生8”提出的第四種解法是課堂預設外的，面對課堂即時生成的資源，教師不是敷衍了事、一筆帶過，而是引導并參與到學生的繼續探究中. 這里，筆者感受到數學學習并非單純的解題與應用，而且是對問題的深入思考，也是對事物內在聯系的探索. 同時，我也看到了學生無限的想象力與創造力，教師是點燃火炬的人，課堂生成不僅能讓火炬旺盛地燃燒，甚至可以把火炬燃燒到課外，指引學生不斷發現、思考和解決問題.

3. 課后作業是課堂的延伸

一直以來，如何把握“熱烈的課堂氛圍”和“知識的鞏固落實”的關系是一線數學教師研討的重要議題，筆者認為課后作業的設計在一定程度上能將二者有效結合. 課堂實錄中將例題自然地改編為一道作業題，沒有新編的背景、沒有復雜的數據，僅將題干的條件弱化，達到了拓寬題目廣度和深度的目的. 這樣的設計既能讓學生保持繼續探索的熱情，還能將課堂上并未“落在筆頭”的知識與技能鞏固. 科學有效的課后作業設計是課堂延伸的重要一環，就像剛欣賞完一部優秀的影視作品，人們在津津樂道、流連忘返的同時，更加期待續集的上演.

責任編輯羅峰