平面2R機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

黃　健，李占賢

(華北理工大學(xué) 河北省工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，河北　唐山　063210)

0　引言

在實(shí)際工程領(lǐng)域,很多應(yīng)用場(chǎng)合下不總是需要多自由度機(jī)器人的復(fù)雜運(yùn)動(dòng),因此自由度少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)實(shí)用的串聯(lián)機(jī)構(gòu)早已引起國(guó)內(nèi)外研究者的濃厚興趣。隨著科技的進(jìn)步,人們涉足的領(lǐng)域越來(lái)越廣,這就必然要求我們對(duì)知識(shí)和理論不斷進(jìn)行創(chuàng)新[1]。目前，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析有兩個(gè)問(wèn)題需要解決:運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題,即根據(jù)關(guān)節(jié)位移、速度、加速度和臂長(zhǎng)求末端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題,即已知末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡和臂長(zhǎng)求解對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度[2]。平面2R串聯(lián)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析至關(guān)重要，它可以為多自由度的復(fù)雜結(jié)構(gòu)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)分析、軌跡規(guī)劃和控制方法的研究提供理論基礎(chǔ)。

1　平面2R機(jī)械臂結(jié)構(gòu)

平面2R機(jī)械臂主要由基座、大臂和小臂組成?；潭ú粍?dòng)，它的作用是固定機(jī)械臂，保持整個(gè)機(jī)械臂穩(wěn)定。大臂是通過(guò)大臂關(guān)節(jié)和底座連接的，它們之間構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)副。小臂是通過(guò)小臂關(guān)節(jié)和大臂連接的，它們之間構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)副，小臂末端通常會(huì)和手爪連接，整個(gè)機(jī)械臂在平面內(nèi)有兩個(gè)自由度[3]。平面2R機(jī)械臂結(jié)構(gòu)如圖1所示。

2　平面2R機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

將平面2R機(jī)械臂機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)模型并建立坐標(biāo)系，如圖2所示。

圖2中，θ1和θ2均為矢量，規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。θ1>0為逆時(shí)針?lè)较颍?<0為順時(shí)針?lè)较颉?/p>

(1)

式(1)可以看成是坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移的復(fù)合變換。

將復(fù)合變換寫(xiě)成矩陣形式：

(2)

依據(jù)Denavit-Htenberg法，用4×4的齊次變換矩陣描述相鄰兩連桿的空間關(guān)系，得到平面2R機(jī)械臂的連桿參數(shù)，如表1所示。

表1　平面2R機(jī)械臂的連桿參數(shù)

表1中，Li-1表示連桿i-1的長(zhǎng)度；αi-1表示連桿i-1的扭角；di表示Li-1與軸線(xiàn)i的交點(diǎn)到Li與軸線(xiàn)i的交點(diǎn)的距離，沿軸線(xiàn)i測(cè)量；θi表示Li-1與Li之間的夾角，繞軸線(xiàn)i由Li-1到Li測(cè)量。

根據(jù)表1中的參數(shù)，可得到連桿變換矩陣：

根據(jù)變換矩陣的乘法公式可知：

根據(jù)圖1可知：

解得:

(3)

式(3)稱(chēng)為平面2R機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

3　運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

3.1　關(guān)節(jié)角度逆解

末端點(diǎn)坐標(biāo)與桿長(zhǎng)的三角形幾何關(guān)系如圖3所示。圖3中-π-θ2<0為順時(shí)針?lè)较颉?/p>

圖3　三角形幾何關(guān)系

由余弦定理可知：

解得:

(4)

將L2=x2+y2代入式(4)中，得：

或

工程實(shí)際當(dāng)中，多數(shù)情況下取θ2∈(-π，0)，則：

(5)

將式(5)代入式(3)中，得：

綜上所述，求得θ1和θ2為：

3.2　關(guān)節(jié)角速度逆解

操作臂的雅克比矩陣定義為它的操作速度與關(guān)節(jié)速度的線(xiàn)性變換，可以看成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比。操作臂的運(yùn)動(dòng)方程為：

x=x(q).

(6)

式(6)代表操作空間x與關(guān)節(jié)空間q之間的位移關(guān)系。將式(6)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即可得出q與x的微分關(guān)系：

x′=J(q)q′.

(7)

其中：x′稱(chēng)為末端操作空間的廣義速度；q′為關(guān)節(jié)速度；J(q)是偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱(chēng)為操作臂的雅克比矩陣[4]。

將平面2R機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，則得：

(8)

根據(jù)式(8)可以看出雅克比矩陣為：

則雅克比矩陣的逆矩陣為：

求得關(guān)節(jié)速度逆解為：

解得:

4　結(jié)語(yǔ)

平面2R機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解表明末端點(diǎn)的位姿取決于大小臂長(zhǎng)和大小臂關(guān)節(jié)角度，當(dāng)臂長(zhǎng)確定時(shí)，適當(dāng)改變關(guān)節(jié)角度可以使末端點(diǎn)到達(dá)設(shè)定位置；運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解表明關(guān)節(jié)角度、關(guān)節(jié)角速度和大小臂長(zhǎng)以及末端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，當(dāng)臂長(zhǎng)一定，末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡確定時(shí)，在某時(shí)刻的角度和角速度是確定值，此時(shí)機(jī)械臂有確定的位置。通過(guò)對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解的分析可以很容易控制機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)參數(shù),使其達(dá)到預(yù)定位置來(lái)滿(mǎn)足工作和使用要求。

參考文獻(xiàn)：

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