具有時滯的食餌-捕食者模型Hopf分岔分析

李玉葉，石惠文，李旭超

（1.赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院；2.赤峰學院 計算機與信息工程學院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

自然界中有成千上萬的種群構成了多彩的生態(tài)界，而生態(tài)系統(tǒng)是需要各個種群之間相互促進相互制約從而發(fā)展繁衍生息的．然而，在種群之間相互作用的關系中，最為常見的捕食者和被捕食者之間的關系.著名的學者Volterra[1]建立了食餌-捕食者模型，其形式如下：

其中，t是時間，x(t),y(t)分別代表食餌和捕食者的在時刻的數(shù)量，r是被捕食者即食餌單獨生長生存時的相對增長率，a是表示捕食者捕食被捕食者的效率，d是捕食者無食物情況下的死亡概率，b是被捕食者對捕食者的提供食物的能力.

隨著種群動力學不斷深入的探究，發(fā)現(xiàn)捕食者獲取食物以后，需要一個消化、妊娠的時期，捕食者種群的數(shù)量才會發(fā)生變化，所以在研究種群動力學模型時大多數(shù)學者考慮了時滯[2-7]，時滯常微分方程相比于普通的常微分方程所描述的動力學行為更加豐富和復雜，也可以更全面及準確地反映現(xiàn)實種群的實際現(xiàn)象.因此研究帶有時滯的捕食-食餌模型的動力學性質的影響具有重要的意義[8-11].

本文主要通過在簡單的食餌-捕食者模型上增加種群自身的時滯,作用時滯τ后，分別得到一個具有單時滯和雙時滯的進而食餌-捕食者模型，研究零平衡點的線性化系統(tǒng)對應的特征方程根的分布情況，得出零平衡點的穩(wěn)定性和發(fā)生Hopf分岔的條件.

2 單時滯的食餌-捕食模型

對于食餌-捕食者模型，考慮時滯τ建立單時滯食餌-捕食者模型，形式如下：

于是設 τ＞0 為系統(tǒng)時滯．設 r＞0、a＞0、b＞0、d＞.系統(tǒng)(2.1)的平衡點是滿足以下的條件：

由(2.2)式知系統(tǒng)(2.1)中的平衡點有兩個，分別為P(0,0)，

在平衡點P(0,0)處，對系統(tǒng)(2.1)進行線性化，可得線性系統(tǒng)

線性化系統(tǒng)(2.3)對應的特征方程為

其中 p=d-r,q=-rd. 當滿足 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 時，方程(2.4)當中q=-rd＜0，所以由平衡點的定性理論可得系統(tǒng)在處為鞍點，不穩(wěn)定.

線性化系統(tǒng)對應的擬特征方程有

引理2.1如果τ＞0，那么系統(tǒng)(2.1)的平衡點是非漸進穩(wěn)定的.

證 當 τ=0 時，由于 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 所以系統(tǒng)(2.5)中的q=rd.根據(jù)Routh-Hurwitz定理可知，方程(2.5)的λ的系數(shù)p為零.所以當 τ=0時，系統(tǒng)(2.1)的平衡點是非漸進穩(wěn)定的.

討論 τ＞0 的情況，設 λ=iω(ω＞0,ω∈C)作為方程(2.5)的純虛根，那么虛部 ω 是符合 -ω2+q(cosωτ-isinωτ)=0.根據(jù)復數(shù)相等可以得到

對于方程(2.6)有如下結論

引理2.2方程(2.6)至少有一個正實根

證 使 u=ω2，則方程(2.6)化為

設f(u)=u2-q2能轉化為,易知 f(0)=-q2＜0,于是參考函數(shù)的零點存在定理，最少得有一個正的實數(shù)u0∈(0,+∞)，能使f(u0)=0.所以可得(2.7)最少有一個正的實根.因為u=ω2，于是方程(2.6)至少有一個正的實根．

設 ω0為(2.6)一個正的實根，那么(2.5)就會有一個 iω0.再經(jīng)過可以得

將ω=ω0代入方程(2.8)，則時滯τ的值可得因此(ω0,τk)是方程(2.5)的解，即當時滯 τ=τk時，λ=±iω0是方程(2.5)的一對共軛純虛根．

假如 τ0=min{τk}，那么 τ=τ0是讓(2.5)出現(xiàn)純虛根 λ=±iω0的情況下τ的一個最小的數(shù)值.所以提出引理3.

引理 2.3若 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0，τ=τ0，那么方程(2.5)有一對純虛根 λ=±iω0.

設式(2.5)的特征根 λ(τ)=α(τ)+iω(τ)，滿足 α(τk)=0，ω(τk)=ω0.下面給出橫截性條件．

引理 2.4若 f′(ω02)=2ω02＞0 則

證 對于方程(2.5)的兩邊對τ求導，可得

根據(jù)方程(2.5)得

將(2.10)式代入(2.9)式得

因為 λ(τk)=iω0，所以有

當 τ=τk時，方程(2.5)有一純虛根 iω0，代入方程(2.5)可得

因為 e-iω0τ=cosω0τ-isinω0τ，所以于是由(2.12)式可得 |-ω02|=|q|，即 ω02=q.根據(jù)(2.11)和(2.1)式可得

從而，在引理4和Hopf分岔理論的基礎上我們有如下定理.

定理 2.1若 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 且 f′(ω02)＞0，那么

（2）當 τ=τk(k=0,1,2,…)時，系統(tǒng)(2.1)在平衡點處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生極限環(huán)．

3 雙時滯的食餌-捕食模型

對于食餌-捕食者模型，考慮時滯τ建立雙時滯食餌-捕食者模型，形式如下：

在平衡點P(0,0)處的線性化系統(tǒng)可得線性系統(tǒng)

當滿足 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 時，方程 λ2+pλ+q=0 當中 q=-rd＜0，所以由特征方程決定的平衡點和穩(wěn)定性表可得系統(tǒng)在P(0,0)處為鞍點，不穩(wěn)定.

引理3.1如果τ=0，則系統(tǒng)(3.1)的平衡點是非漸進穩(wěn)定的.

證 當 τ=0 時，由于 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 所以系統(tǒng)(3.2)中的q為q=rd＞0.根據(jù)Routh-Hurwitz定理可得，方程(3.2)的λ項系數(shù)p為0.所以當τ=0時，系統(tǒng)(3.1)的平衡點不是漸進穩(wěn)定的.

討論 τ＞0 的情況，設 λ=iω(ω＞0,ω∈C)作為方程(3.2)的純虛根，那么虛部 ω 是符合 -ω2+q(cosωτ-isinωτ)2=0,根據(jù)復數(shù)相等我們得到

于是對于方程(3.3)有下列結論

引理3.2方程(3.3)至少有一個正實根

證 使 u=ω2，則方程(3.3)可化為 u2-q2=0.設 f(u)=u2-q2可以轉化為易知于是參考函數(shù)的零點存在定理，最少得有一個正的實數(shù)u0∈(0,+∞)，能使f(u0)=0.所以可得u2-q2=0最少有一個正的實根.因為u=ω2，于是方程(3.3)至少有一個正的實根.

設 ω0為(3.3)一個正的實根，那么(3.2)就會有一個 iω0.再經(jīng)過(2.11)可已得

將ω=ω0代入方程(3.4)，則時滯τ的值為因此(ω0,τk)是方程(3.2)的解，也就是說當時滯 τ=τk時，λ=±iω0就是方程(3.2)的一對共軛純虛根.

假如 τ0=min{τk}，那么 τ=τ0是讓(3.2)出現(xiàn)純虛根 λ=±iω0的情況下τ的一個最小的數(shù)值.所以提出引理3.

引理 3.3若 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0，τ=τ0，則方程(3.2)有一對純虛根 λ=±iω0.

設式(3.2)的特征根 λ(τ)=α(τ)+iω(τ)，滿足 α(τk)=0，ω(τk)=ω0.下面給出它的橫截性條件.

引理 3.4若 f′(ω02)=2ω02＞0,則

證 對方程(3.2)的兩邊對于τ求導，可得

根據(jù)方程(3.2)可得 qe-2λτ=-λ2,將其代入上式有

因為 λ(τk)=iω0，所以有

從而，在引理4和Hopf分岔理論的基礎上我們有如下定理.

定理 3.1如果 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 且 f′(ω02)＞0，那么

（1）當 τ＞0 時，系統(tǒng)(3.1)在平衡點是不穩(wěn)定的；

（2）當 τ=τk(k=0,1,2,…)時，系統(tǒng)(4.1)在平衡點處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生極限環(huán).

4 結論

本文討論了在食餌-捕食者模型里的單時滯系統(tǒng)(2.1)和雙時滯食餌-捕食者系統(tǒng) (3.1)在平衡點的穩(wěn)定性以及Hopf分岔的存在性問題，通過分析兩個系統(tǒng)在平衡點處的線性化系統(tǒng)的所對應的特征方程根的分布,得到系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定性條件和Hopf分岔存在的條件.本研究豐富了時滯的捕食-食餌模型的動力學性質，對生態(tài)維持系統(tǒng)的平衡有指導意義.

〔1〕D.D.Mooney,R.J.Swift.A course in mathematical modeling.The mathematicalassociation ofAmerica,1999.

〔2〕李德奎,連玉平.單時滯類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔分析[J].數(shù)學雜志,2015,35(3):633-642.

〔3〕李德奎,連玉平.單參數(shù)Chen系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[J].自動化與儀器儀表,2015(05).

〔4〕Mello L F,Messias M,Braga D C.Bifurcation analysis of a new Lorenz-like chaotic system[J].Chaos,Solitons and Fractals,2008,37:1244-1255.

〔5〕Yujie L,Daoxiang Z.Positive periodic solution of 5-species Lotka-volterra mixed system with variable time delays[J].J.Math,2011,31:433-439.

〔6〕Guodong Z,Lulu Z,Boshan C.Hopf bifurcation in a delayed differential-algebraic biological economic system[J].Nonlinear Analysis,2011,12(3):1708-1719.

〔7〕Guodong Z,Yi S,Boshan C.Positive periodic solutions in a non-selective harvesting predator-prey model with multiple delays[J].J.Math.Anal.Appl,2012,395(1):298-306.

〔8〕P.J.Wangersky,W.J.Cunningham.Time lag in preypredator population models[J].Ecology,1957,38:136–139.

〔9〕Y.Kuang Delay differential equations with applications to population dynamics[M].New York:Academic Press,1993.

〔10〕X.Y.Meng,H.F.Huo,H.Xiang.Hopf bifurcation in a three-species system with delays[J].J.Appl.Math.Comput.,2011,35:635-661.

〔11〕Ch.J.Xu,P.l.Li.Bifurcation behaviors analysis on a predator-prey model with nonlinear diffusion and delay[J].J Dyn Control Syst.,2014,20:105–122.