奇解的判別法

布仁滿都拉

（赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

對于某些微分方程，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這方程的積分曲線族，但是，在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線和它在此點(diǎn)相切，在微分方程里，這條特殊的積分曲線所對應(yīng)的解稱為方程的奇解.

若一個(gè)微分方程它有奇解，怎么求它的奇解是本文主要討論的問題.

判別微分方程奇解時(shí)，我們常用P-判別曲線法、C-判別曲線法.P-判別曲線法、C-判別曲線法，都是分別先求出P-判別曲線、C-判別曲線，再驗(yàn)證所求曲線中的某一支是微分方程的解，如果是微分方程的解，也不一定是奇解.但在求微分方程的奇解時(shí)，通常會(huì)采用這兩種判別式.

1　奇解的定義

定義1[1]設(shè)在平面上有一條連續(xù)可微的曲線Γ，如果對于一點(diǎn)Q∈Γ，在單參數(shù)曲線族V(x,y,C)=0中都有一條曲線和它在Q點(diǎn)相切，其中C是參數(shù)，則稱曲線Γ是曲線族V(x,y,C)=0的包洛.

定義2[1]設(shè)一階微分方程有一特解Γ：y=φ(x)，如果對每一點(diǎn) Q∈Γ，在 Q點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)方程有一個(gè)不同于Γ的解在Q點(diǎn)與Γ相切，則稱Γ是微分方程的奇解.

2　P-判別曲線法

定理1[2]設(shè)函數(shù)F(x,y,p)對x,y,p是連續(xù)的，而且對y和p有連續(xù)的偏微商F′y和F′p，若函數(shù)y=φ(x)是微分方程的一個(gè)奇解，則奇解y=φ(x)滿足一個(gè)稱之為P-判別式的聯(lián)立方程

或(從中消去p)與其等價(jià)的方程Δ(x,y)=0,(x,y)平面上決定的曲線稱為P-判別曲線.

例1求方程的奇解.

解從

消去p,得到P-判別曲線

因?yàn)榍蟮迷匠痰膮?shù)形式的通解為

當(dāng)p=0時(shí)，直接推得y=0也是方程的解.

但y=x2不是方程的解，故此方程沒有奇解.

例2求方程的奇解.

因?yàn)樵匠痰耐ń鉃?/p>

3　C—判別曲線法

定理2[3]設(shè)微分方程有通積分V(x,y,C)=0，又設(shè)積分曲線族V(x,y,C)=0有包絡(luò)為：y=?(x)，則奇解 y=?(x)滿足如下 C- 判別式

或（從中消去C）與其等價(jià)的方程Ω(x,y)=0.

例3求方程的奇解.

解易求得方程的通解是

對C求導(dǎo)，得-2(x-c)=0，

驗(yàn)證它顯然是解，又是通解一圓族的包絡(luò)線，因此y=±b是奇解.

定理1和定理2都是判斷微分方程奇解的必要條件.也就是說，用P-判別曲線法和C-判別曲線法求出的解不一定是微分方程的解.如果是微分方程的解，也不一定是奇解.但在求微分方程的奇解時(shí)，通常會(huì)采用這兩種判別式法.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.

〔2〕丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔3〕王高雄，周之銘，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.