一類非線性橢圓方程解的存在性

陳俊龍，楊柳青，柴曉娟

（安徽大學(xué)　數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽　合肥　230601）

1　引言

設(shè)Ω是RN(N≥2)上一個(gè)有界光滑區(qū)域，本文研究如下帶低正則值和退化耗散系數(shù)的非線性橢圓方程解的存在性，

其中，g∈L1(Ω)，p∈(1,N)，耗散系數(shù) σ(x)非負(fù)、有界可測(cè)，在區(qū)域Ω內(nèi)部至多有限個(gè)零點(diǎn)并且滿足如下假設(shè)：

帶低正則值得橢圓方程解的存在性問題一直偏微分方程領(lǐng)域比較熱點(diǎn)的問題.自上世紀(jì)七十年代以來，Stampacchia、Benilan、Brezis等學(xué)者對(duì)外力項(xiàng)為可積函數(shù)或一般Radon測(cè)度的線性或半線性橢圓方程界的存在性問題進(jìn)行了深入研究[1-4].近年來，圍繞帶低正則值的橢圓、拋物方程解的存在性問題產(chǎn)生了大批新的結(jié)果，參見[5,6,7]及本文第三作者的工作[8].

帶有退化耗散系數(shù)的橢圓或拋物方程主要產(chǎn)生于非均勻介質(zhì)中擴(kuò)散現(xiàn)象的描述.在文獻(xiàn)[9]中,Cardiroli等學(xué)者研究了g∈L2(Ω)時(shí)上述方程弱解的存在性.本文借助文獻(xiàn)[3,4]的思想，研究g∈L1(Ω)時(shí)上述方程解存在性問題.

2　預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)果

定義2.1我們稱v∈T10,1(Ω,σ)是方程（1.1）的熵解.如果?k＞0,Tk(v)∈W10,p(Ω)，且對(duì)任意的 φ∈D10,p(Ω,σ)∩L∞(Ω)，有

定理 2.2設(shè)g∈L1(Ω)，σ(x)非負(fù)、有界可測(cè)，在區(qū)域Ω內(nèi)部至多有限個(gè)零點(diǎn)且滿足條件A，則問題（1.1）至少有一個(gè)熵解.

3　定理證明

設(shè){gn}是光滑的函數(shù)列，在L1(Ω)中收斂于g，且滿足||gn||L1(Ω)≤||g||L1(Ω).考慮如下逼近方程

由經(jīng)典的橢圓方程解的存在性結(jié)果可知，對(duì)于任意給定的 n，方程（3.2）至少有一個(gè)解 un∈D10,p(Ω,σ).下面我們建立un的一致估計(jì)，進(jìn)而給出原方程解的存在性.令q∈[1,Np/(N+α))，由(3.2)及 Holder不等式可得

記 q*=Nq/N-q，則?0＜ξ≤k，

取 ξ=k，則?s＜Nq/(2N-2q+2α)(＞1)，

由(3.3)及 Sobolev嵌入定理知{Tk(un)}是L1(Ω)中的柯西列，因此也是測(cè)度意義下的柯西列.由于?δ＞0，

meas{|un-um|＞δ}≤meas{|un|＞k}+meas{|um|＞k}+meas{|Tk(un)-Tk(um)|＞δ}.

結(jié)合(3.5)知{un}是以測(cè)度意義下的柯西列.不妨假設(shè)其依測(cè)度收斂于函數(shù)u.下面證明{▽un}在測(cè)度μ=σdx下是依測(cè)度柯西列.?δ＞0，

meas{σ|▽un-▽um|＞δ}≤meas{|un-um|＞η}+meas{|un-um|≤η,σ|▽un-▽um|＞δ}?E1+E2

由于{un}是以測(cè)度柯西列，當(dāng)η充分小時(shí)，有E1＜ε.另一方面，

當(dāng) η 充分小時(shí)，有 E2＜ε.因此{(lán)▽un}在測(cè)度 μ=σdx 下是依測(cè)度柯西列，且其極限為▽u.取Tk(un-φ)作為試驗(yàn)函數(shù)，其中φ∈D10,p(Ω,σ)∩L∞(Ω)，則由(3.2)得

顯然∫Ωgn·Tk(un-φ)dx→∫Ωg·Tk(un-φ)dx.進(jìn)一步,由于Tk(un-φ)dx在 D10,p(Ω,σ)中弱收斂到 Tk(un-φ)，根據(jù) Fatou 引理可推出

因此u是問題（1.1）的熵解.證畢.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕G.Stampacchia,Equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinus,Presses de l’Universite de Montreal,1966.

〔2〕Ph.Benilan,H.Brezis,Nonlinear problems related to the Thomas-Fermi equation,J.Evolution Equations 3(2004)673–770.

〔3〕L.Boccardo,T.Gallou?t,Nonlinearellipticand parabolicequationsinvolvingmeasuredata,J.Funct.Anal.87(1989)149–169.

〔4〕Ph.Benilan,L.Boccardo,Th.Gallouet,R.Gariepy,M.Pierre,J.L.Vazquez,An L 1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations,Ann.Sc.Norm.Super Pisa Cl.Sci.22(4)(1995)51–273.

〔5〕H.Brezis,M.Marcus,A.C.Ponce,Nonlinear elliptic equations with measures revisited.Mathematical aspects of nonlinear dispersive equations,55--109,Ann.of Math.Stud.,163,Princeton Univ.Press,Princeton,NJ,2007.

〔6〕L.Boccardo,L.Moreno-Mérida,solutions of nonlinearproblemswithnonhomogeneousNeumann boundary conditions.Milan J.Math.83(2015),no.2,279–293.

〔7〕L.Francesco,R.Eugénio,S.Vasile Quasilinear elliptic systems with measure data.Nonlinear Anal.154(2017),210–224.

〔8〕X.Chai,W.Niu,Existence and non-existence results for nonlinear elliptic equations with nonstandard growth.J.Math.Anal.Appl.412(2014)1045–1057.

〔9〕P.Cardiroli,R.Musina,On a variational degenerate elliptic problem,NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.7(2000)47–199.