Maple軟件在高等代數(shù)課程中的應(yīng)用探索

劉秀英，孔祥強(qiáng)

（菏澤學(xué)院　數(shù)學(xué)系，山東　菏澤　274015）

Maple、Mathematica和MATLAB是數(shù)學(xué)類的三大軟件.Maple軟件是由加拿大滑鐵盧大學(xué)和Waterloo Maple Software公司注冊(cè)的一套為微積分、代數(shù)學(xué)和微分方程等使用的數(shù)學(xué)軟件[1].Maple軟件不僅具有很好的符號(hào)運(yùn)算功能，而且具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能和動(dòng)態(tài)處理圖形的功能[2].在數(shù)學(xué)的很多分支中有著廣泛的應(yīng)用[3,4,5,6].

高等代數(shù)課程內(nèi)容比較深?yuàn)W、抽象，證明過程比較繁瑣、難懂，針對(duì)課程的這些特點(diǎn)，引入Maple軟件，可很好的幫助解決這些問題.數(shù)學(xué)軟件與傳統(tǒng)教學(xué)方式相結(jié)合，可大大提高學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性，達(dá)到提高學(xué)習(xí)效率和教學(xué)質(zhì)量的目的，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他專業(yè)課打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1　Maple軟件在多項(xiàng)式計(jì)算中的應(yīng)用

高等代數(shù)中有關(guān)多項(xiàng)式的內(nèi)容，主要包括多項(xiàng)式整除、因式分解定理、多項(xiàng)式函數(shù)及多元多項(xiàng)式等.最大公因式部分是多項(xiàng)式整除中的重要內(nèi)容，主要是用輾轉(zhuǎn)相除法求多項(xiàng)式的最大公因式，而當(dāng)多項(xiàng)式的系數(shù)不是整數(shù)時(shí)，該法計(jì)算起來非常復(fù)雜，極易出錯(cuò).為了實(shí)現(xiàn)計(jì)算迅速且結(jié)果準(zhǔn)確的目標(biāo)，不妨借助Maple軟件編程，可達(dá)到事半功倍的效果.

案例1設(shè)多項(xiàng)式求(f(x),g(x))，并求 u(x)，v(x)，使得(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x).

利用Maple軟件編程可輕松實(shí)現(xiàn)這一過程，避免了用輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行復(fù)雜、繁瑣的計(jì)算.

s,t

準(zhǔn)確地計(jì)算出多項(xiàng)式的最大公因式，是學(xué)好多項(xiàng)式中其他內(nèi)容的基礎(chǔ)[7].

2　Maple軟件在矩陣計(jì)算中的應(yīng)用

有關(guān)矩陣計(jì)算方面的內(nèi)容非常豐富，主要包括矩陣的加法、減法、乘法、乘方；矩陣的三種初等變換；矩陣的轉(zhuǎn)置；矩陣的秩；方陣的行列式計(jì)算；矩陣的特征值和特征向量；逆矩陣及伴隨矩陣的求法等.以下通過實(shí)際數(shù)例，說明Maple軟件的具體應(yīng)用.

案例2設(shè)矩陣A=

通過Maple編程，實(shí)現(xiàn)矩陣高次方的計(jì)算.

with(LinearAlgebra):

A:=Matrix([[1],[0,-2,0,0],[0,0,-3,0],[0,0,0,-4]]):

MatrixPower(A,5)

MatrixPower(A,6)

MatrixPower(A,n)

wuth(linlg):

L:=matrix(4,4,[0,0,1,-1,0,3,1,4,2,7,6,-1,1,2,2,-1]):

adj(L)

程序輸出的結(jié)果為A5=

矩陣可以看作學(xué)好高等代數(shù)課程的重要工具，而矩陣的計(jì)算是必須熟練掌握的內(nèi)容.以Maple軟件為依托，使得計(jì)算簡單易行.通過軟件，也可動(dòng)態(tài)的實(shí)現(xiàn)每一步的計(jì)算過程，可以通過修改參數(shù)，討論不同的情形，從而更深刻地掌握知識(shí)點(diǎn).

案例3判斷矩陣A=是否相似？矩陣C=是否相似？

通過調(diào)用軟件包with(linalg)語句,編程

with(linalg):

A:=matrix(3,3,[2,-1,-1,-1,2,-1,-1,-1,2])

B:=matrix(3,3,[1,0,0,0,1,0,0,0,0])

issimilar(A,B)

false

with(linalg):

C:=matrix(3,3,[1,0,1,0,3,0,1,0,1])

H:=matrix(3,3,[2,0,0,0,3,0,0,0,0])

issimilar(C,H)

trie

由輸出的結(jié)果知，A和B不相似；C和H相似.

案例4求矩陣的特征值和

特征向量.

利用Maple軟件編程，

with(linalg):

A:=matrix([[5,-2,-4,3],[3,-1,-3,2],[-3,,,-],[-10,3,11,-7]]])

E:=array(1．．4,1．．4,identity):

et(matadd(evalm(lambda·E),-A)):

f:=lambda→λ4-λ3+λ32:

linsolve(matadd(evalm(0·E),-A),vector([0,0,0,0]))[2_t1-_t23_t1-t2_t1_t2]

linsolve(matadd(evalm(1·E),-A),vector([0,0,0,0]))[3_t1_t1_t1-2_t1]

linsolve(matadd(evalm(1·E),-A),vector([0,0,0,0]))2[-4_t1-2_t1_t16_t1]

3　Maple軟件在解線性方程組中的應(yīng)用

線性方程組的求解是高等代數(shù)中的重要內(nèi)容.設(shè)方程組系數(shù)矩陣的秩為R(A)，增廣矩陣的秩為R(AMd)，方程組中未知量的個(gè)數(shù)為n，則（1）當(dāng)R(A)=R(AMd)時(shí)，方程組有解.若R(A)=R(AMd)=n，則方程組有唯一的解；若 R(A)=R(AMd)＜n，則方程組有無窮多組解.（2）當(dāng)R(A)≠R(AMd)時(shí)，方程組無解.判斷矩陣的秩，一般是先把矩陣化為行階梯形；而為了求方程組的解，一般需化到行最簡階梯形，這樣方便求解.利用Maple軟件，通過實(shí)際例子進(jìn)行說明.

案例5將矩陣A=及矩陣B=化為行最簡階梯形.

利用Maple軟件編程，

with(student[LinearAlgebra]):

A:=〈〈0,-3,3,6〉|〈1,2,-3,-9〉|〈3,7,2,1〉|〈-6,9,3,0〉〉:

b:=〈0,1,2,-3〉:

GaussianElimination(A):

ReducedRowEchelonForm(〈A〉)

ReducedRowEchelonForm(〈B〉)

有了行階梯形作為鋪墊，求方程組的解就容易多了.

案例6解線性方程組

Maple程序

with(linalg):

A:=matrix(5,5,[1,3,5,-4,0,1,3,2,-2,1,1,-2,1,-1,-1,1,-4,1,1,-1,1,2,1,-1,1]):

b:=matrix(5,1,[1,-1,3,3,-1]):

B:=augment(A,b):

gaussjord(B);

solutions:=backsub(%);

由輸出的結(jié)果知，R(A)=R(A,b)=4，n=5，所以方程組有無窮多組解，其通解為其中k為任意常數(shù).利用類似的編程方法，還可判斷出線性方程組有唯一解和無解的情形.

4　結(jié)束語

本文通過具體的數(shù)學(xué)實(shí)例，探討了Maple軟件在高等代數(shù)課程中的應(yīng)用.實(shí)際上，代數(shù)中的很多問題都可以通過編程實(shí)現(xiàn).將數(shù)學(xué)軟件引入課堂，可大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，

增強(qiáng)數(shù)學(xué)的趣味性，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜內(nèi)容的簡單化、抽象問題的具體化.打好了基礎(chǔ)，才能更深入地學(xué)習(xí)其他的數(shù)學(xué)知識(shí).利用Maple軟件提供的軟件包，可以幫助實(shí)現(xiàn)做題過程的動(dòng)態(tài)化展示，從而更深刻地理解解題思路和方法.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕李銳,程美玉,張偉.Maple軟件在線性代數(shù)與解析幾何學(xué)習(xí)中的應(yīng)用[J].實(shí)踐探索,2016(9):77-78.

〔2〕張曉丹,堵秀鳳,李祥林,張永勝,張永春.Maple 的圖形動(dòng)畫技術(shù)[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2005.

〔3〕阿榮.Maple在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2013,16(4):97-99.

〔4〕李姝妹.數(shù)學(xué)軟件Maple在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用[J].陰山學(xué)刊,2013,27(4):55-57.

〔5〕吳珞.Maple和Maple T.A.在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2013,30(2):130-134.

〔6〕孔祥強(qiáng).Maple在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索[J].欽州學(xué)院學(xué)報(bào),2016,31(1):54-57.

〔7〕李治強(qiáng),梁燕來,胡源艷,易亞釗.Maple在高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用探索——以一種多項(xiàng)式因式分解方法為例[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,32(5):32-36.