特殊線性方程組的求解

羅美金，林遠華，歐陽云，覃煒達

（河池學院　數學與統計學院，廣西　宜州　546300）

在高等數學、線性代數中，求解線性方程組對于大多數人并不陌生，從簡單的一元方程到二元方程組以及多元方程組，在各個領域中都具有廣泛的應用.線性方程組的形式多樣，未知數個數可以大于、等于或小于方程組個數，解的形式也有無窮多解、唯一解和無解的情形.本文以含有n個未知數x1,x2,…,xn的n個線性方程的方程組（1）為例，只討論具有唯一解的情形.

結合矩陣的基本運算，可將任意的線性方程組表示成Ax=b，其中A,b分別為線性方程組的系數矩陣和等式右端的常數項.因此，（1）式可利用矩陣表示為：

不妨假設n=3，以下線性方程組（2）為例，并分別利用行列式、矩陣初等變換、逆矩陣求解.

1　利用行列式求解方程組

含有n個未知數n個線性方程的Ax=b，若系數行列式|A|≠0時，則可借用克萊姆（Cramer）法則求解，這時所得方程組具有唯一解，且其中 |Ai|是 b1,b2,…,bn對應替換|A|中第i列的元素a1i,a2i,…,ani所得的行列式[1-3].

分析：利用克萊姆法則求解線性方程組，必須要滿足兩個條件：①方程個數等于未知數個數；②系數行列式不等于0.

解計算線性方程組（2）的系數行列式

同理，可求得|A1|=4，|A2|=1，|A3|=1.根據克萊姆法則可得，此時方程組具有唯一解，且

2　利用矩陣的初等變換求解方程組

眾所周知，求解線性方程組最直接方法的是消元法.矩陣初等變換求解方程組過程類似于消元法，所不同的是矩陣初等變化是消元法的簡化，方程組在變換過程中實際上發生改變的只有A和b.因此，利用矩陣的初等變換求解方程組只需將(A,b)（(A,b)為系數矩陣A的增廣矩陣）化簡為行階梯形矩陣或行最簡形矩陣，再還原成方程組解出即可.

非零矩陣為行階梯形矩陣若滿足[1-2]：①非零行在零行的上面；②非零行的首零元所在列在上一行的首非零元所在列的右面.非零矩陣為行最簡形矩陣若滿足[1-2]：①是行階梯形矩陣；②非零行的首非零元為1；③首非零元所在的列的其他元均為0.

分析：利用矩陣初等變換，將線性方程組（2）的增廣矩陣(A,b)化簡為行階梯形矩陣或行最簡形矩陣.

3　利用逆矩陣求解方程組

若系數矩陣的行列式|A|≠0，則A可逆，記為A-1[1-2].因此，要求解方程組Ax=b，在方程組等式左右兩端左乘A-1，則可得x=A-1b.

求解逆矩陣A-1，可利用為矩陣A的伴隨

所以，

綜上，利用行列式、矩陣初等變換、逆矩陣三種方法求解含有n個未知數x1,x2,…,xn的n個線性方程的方程組，三種方法各有優勢，其中利用行列式、逆矩陣求解時比較適用于n≤3時，且需熟悉行列式的計算、代數余子式的計算；利用矩陣初等變換求解方程組的適用范圍更廣，尤其是n值較大時，則優先使用此方法.此外，也可借用數學工具matlab、maple等來計算.掌握線性方程組的求解對于學好數學類基礎課程具有重要的作用，從而為各專業的后繼課程的學習奠定了基礎.

參考文獻：

〔1〕同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，2005.

〔2〕周勇，朱礫.線性代數[M].上海：復旦大學出版社，2009.

〔3〕同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2004.