具兩相同熱儲備部件可修系統的漸近穩定性分析

喬　興

（大慶師范學院　教師教育學院，黑龍江　大慶　163712）

1　引言

文獻[1][2]中用補充變量方法建立了此可修系統的數學模型，并用Laplace變換分析了系統的可用度，得到了一系列有意義的結果.但上述結論的取得依賴于如下兩個條件：條件（1）該系統存在唯一非負時間依賴弱解.條件（2）該時間依賴解是漸近穩定的[3].當故障后的修復時間服從指數分布時，上面兩個條件成立.當故障后的修復時間服從任意分布時，上面提到的兩個條件是否成立仍有待于研究.作者的意圖是提出兩個條件成立的結論，為此類可修系統的可靠性研究提供嚴格的理論基礎.在文獻[4]中柳等人給出了系統唯一非負解是0本征值所對應的本征向量的結論，即驗證了上面條件（1）成立.在本文中我們通過研究算子的譜點分布，檢驗了算子的譜點除虛軸上0點外均位于左半復平面，得到了該系統的漸近穩定性分析，即證明了上面提到的條件（2）.

2　模型描述

文獻[5]中作者已經給出了系統的解唯一存在的結論.在本文中我們將給出該可修復系統的漸近穩定性分析過程.有了上面的準備，可得描述此模型的積分—微分方程組[6]：

其中i=0時刻代表1個部件工作、2個部件熱儲備的狀態.i=1時刻代表1個部件工作、1個部件發生故障、1個部件熱儲備狀態.i=2時刻代表1個部件工作、2個部件發生故障的狀態.i=3時刻代表3個部件均發生故障的狀態.i=4時刻代表該系統處于常規故障的狀態.i=5時刻代表該系統處于人為故障的狀態.λ代表運行系統由自身原因引起的損壞率.λci代表在狀態i時刻系統的常規故障率(i=0,1,2).λhi代表在狀態i時刻系統的人為故障率(i=0,1,2).α代表熱儲備部件的損壞率.μ代表運行部件的常數修復率.Pi(t)代表t時刻該系統處于狀態i的概率(i=0,1,2).Pi(x,t)代表t時刻該系統處于狀態i且已修時間為 x 的概率，(x,t)∈[0,∞)×[0,∞).μi(x)代表時刻系統處于狀態i時的修復率，且滿足

下面用巴拿赫空間中的抽象柯西問題來刻畫上面積分——微分方程組，為方便，記：

顯然(X,||·||)為巴拿赫空間.取算子A的定義域如下：

D(A)= ｛ P∈X|Pi(x)(i=3,4,5)是絕對連續的函數，

則系統方程（1）—（6）可描述為巴拿赫空間中的一個抽象柯西問題（ACP）：

3　解的漸近性

為了在后面的論證過程中方便，我們先給出兩個非常有用的引理.

引理1設部件壽命是非負的連續型隨機變量x，其分布函數是Gi(x)，密度函數是gi(x)且Gi(0)=0，則有：則當{γ∈C|Reγ＞0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}時，有 |g|＜1.

定理10是算子A+E的簡單本征值.證明考慮如下方程組得：

引理2記g=

將（14）代入（7）并聯立（8）—（9）可得：

(-a0+λc0+λh0)P0+(μ+λc1+λh1)P1+(λ+λc2+λh2)P2=0，

(λ+2α)P0-a1P1+μP2=0，

(λ+α)P1-a2P2=0，

容易驗證上述方程的系數行列式的值為0，并且當 P0＞0 時，P1,P2均大于零.同時由 P0＞0 和 a0,a1,a2的表達式知Pi(x),i=3,4,5均是非負的，因此向量P*=(P0,P1,P2,P3(x),P4(x),P5(x))是算子A+E的0本征值對應

定理 2{γ∈C,Reγ＞0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}?ρ(A+E).

證明對任意給定的 γ∈C，Reγ＞0或 γ=ia，a∈R，a≠0,=(y0,y1,y2,y3(x),y4(x),y5(x))∈X.解方程(γI-A-E)P=y→得

解（18）得

因為 yi(x)∈L1[0,∞)i=3,4,5，結合引理 2有：

故 Pi(x)∈L1[0,∞),i=3,4,5.將其代入（15）并聯立（16）—（17）有：

其中：gi=

當 Reγ＞0 或者 γ=ia,a∈R,a≠0 時，有 |gi|＜1，故可得上面方程組的系數矩陣是嚴格對角占優矩陣.根據文獻[7]可知，系數行列不等于零.從而當→=(y0,y1,y2,y3(x),y4(x),y5(x))≠0 有：P=(P0,P1,P2,P3(x),P4(x),P5(x))≠0即上述方程存在唯一解，故R(γ-A-E)=X，又因為(I-A-E)是閉算子，由文獻[8]可知(γ-A-E)-1存在且有界，即{γ∈C,Reγ＞0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}屬于算子A+E的預解集.

上述結論對于其它各科教師當然也是成立的．更一般地說，這也正是醫生、律師等具有較強實踐性質的專業人員何以需要較長見習期的主要原因，即是工作的復雜性與不確定性，從而就不可能被完全納入任一固定的理論框架．這也就是指，即使相關人士已較好地掌握了相關的專業知識，仍然不可能通過這些知識的簡單應用就能有效地解決所面臨的各種問題，而必須主要依靠自身的創造性勞動，包括相關知識的創造性應用．

推論1ACP存在非負的穩定解.

在定理2中，我們證明了算子A+E的所有譜點除虛軸上0點外均位于左半復平面.同時P*是算子A+E的0本征值的0本征向量，故P*是非負的，所以P*是ACP的非負的穩定解.

定理3令P*是算子A+E的0本征值的本征向量且滿足||P*||=1，取Q=(1,1,1,1,1,1)，則ACP的時間非負依賴解P(x,t)，當時間t趨于無窮時趨于系統的非負穩定解P*：

其中P0是方程初始值.

由[9]可知，定理3的結論是強連續半群穩定性的一個結果.故此，我們就驗證了A+E的0本征值的本征向量P*是ACP的唯一非負的穩定解且滿足

參考文獻：

〔1〕Gupta S M.Stochastic analysis of systems with primary and secondary failures[J].Microelectronics Reliability,1995,35(1):65-71.

〔2〕Gupta P P,Tyagi L.MTTF and availability evaluation of a two-unit,two-state,standby redundant complex system with constant human failure[J].MicroelectronicsReliability,1986,26(4):647-650.

〔3〕徐厚寶,柳合龍,于景元,等.具有臨界和非臨界操作錯誤的人機系統的漸近穩定性[J].系統科學與數學,2005,25(5):513-524.

〔4〕柳京愛,鄭福.具有四類故障可修系統解的存在唯一性[J].數學的實踐與認識,2004,34(12):133-136.

〔5〕GupurG,LiXZ,ZhuGT.Functional Analysis Method in Queueing Theory[M].Research Information,Hertfordshire,2001.

〔6〕馬艷英,李秀珍,喬興.具有四類故障可修復系統非負弱解存在唯一性[J].吉林工程技術師范學院學報,2008,24(4):78-80.

〔7〕云鵬,凱院,仲.矩陣論[M].西北工業大學出版社,2006.

〔8〕張恭慶,林源渠,郭懋正.泛函分析講義[M].北京：北京大學出版社,1990.

〔9〕Lyubich Y,V?P.Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces[J].Studia Mathematica,1988,88(1):37-42.