基于數學與應用數學專業的“復變函數”課程的教學與實踐

劉 玲

（韶關學院 數學與統計學院，廣東 韶關512005）

“復變函數”是當前理工科數學的一門重要的基礎課，也是數學與應用數學專業數學分析課程的后繼課程。整個課程體系完整、內容嚴謹、系統性突出：它是利用自變量為復數的函數，將數域從實數域擴充到復數域［1］，從而構建了新的數的表示形式x+iy。該課程以柯西-黎曼方程為理論研究依據，柯西積分公式為主要工具，洛朗級數為留數的研究前提，共形映射與解析延拓作為應用和推廣［2］，最終形成了獨特的理論和計算技巧。根據數學與應用數學專業的特點和培養目標，如何讓該專業學生高效地學好這門課程,對該課程教學和實踐非常有意義。

一、“復變函數”課程教學面臨的問題及現狀

復變函數相對于實變函數而言，研究的數域范圍得以擴充，其研究的對象、使用的工具和理論依據都隨之改變。對于剛剛接觸這門課程的學生來說，該課程學習起來比較困難，且內容枯燥。科學合理地組織教學，讓學生能夠愉快地學習并輕松掌握該課程內容，進一步激發學生的學習興趣，這些都給教師提出了嚴峻考驗。目前在“復變函數”教學中存在以下幾個方面的問題。

（1）課程學時減少。當前高等教育進行改革，新的專業課程不斷涌現，原來的一些專業課時不斷減少。根據《韶關學院數學與應用數學專業的培養方案》，這門課程課時已縮減到51學時，按照教學計劃和課時量的安排，最后兩章——共形映射與解析延拓只能自學，有些內容也只是一帶而過。盡管如此，但教學任務依舊繁重，導致課程安排基本都是教師的單向講解，學生思維跟不上，對所學過的知識囫圇吞棗［3］，達不到預期的教學目的。

（2）與前沿知識脫鉤嚴重。一般來說，復變函數是在學完數學分析之后再開設的，但在教學過程中發現許多學生基本上忘記了數學分析中的知識，再加上有部分專插本學生，水平參差不齊，使得他們在學習中不會運用數學分析中的類似的定理和結論進行類比學習，單單了解知識表面，難以掌握該課程的精髓。

（3）理論與應用結合不緊密。在講授課程時，大部分學生停留在書本的理論知識上，記住的只是解析函數、洛朗級數、留數等概念及相關定理，卻甚少延伸到本課程在其他學科方面的實際應用。再者學生的學習比較被動，談不上在學習過程中用數學分析的思想去重新審視中學數學，更談不上研究其內在聯系。

因此，有效改變教學現狀、提高教學質量是當前亟待解決的問題，對該課程進行一些相應的改革是十分必要的。

二、“復變函數”課程教學改革的探討

數學與應用數學專業要求學生具有較強的邏輯思維能力，在掌握數學科學的基本理論與基本方法的基礎上，還要培養學生解決實際問題的能力，并進一步培養他們的創新意識、創新思維和創新能力［4］。

根據專業特點及教學現狀，接下來將從深化教學內容和改進教學方法手段兩方面對該課程進行研究。

（一）教學內容的深化

由于數學與應用數學專業特點主要體現在實際應用方面，這就需要在教學過程中對課程內容做一些調整，并補充一些最新的學科動態。

（1）補充完善復數這塊知識［1］。學生在剛接觸到實函數后，對復數方面的知識比較欠缺，可以選擇在講授新課前，加以適當的補充；另外再簡單介紹一下與本課程有著經典淵源的“復變函數論”和其他學科知識，以達到知識的銜接性，進一步增加學習興趣。

（2）合理安排教學內容。由于該課程每個章節之間都有內在聯系，是一個有機的整體，在教學中可巧妙設計章節的引入，從概念的理解，定理的掌握到具體例題的演練，適當引導學生進行多思、多變、多解訓練，以培養學生的創造性思維能力［5］。例如在介紹第六章留數的時候，需要以前一章洛朗級數作為理論前提。留數的定義是級數的負一次冪系數，反之其定義又給大家提供了復積分的計算方法，同時相關定理也解決了數學分析中無法求解的幾類實積分，這不僅聯系了教材第三章柯西積分公式，而且也是數學分析課程的拓展。

對一些重點、難點及一些特別的知識可以適當增加課時，例如復變函數的多值性、解析函數的無窮可微性、零點孤立性及洛朗級數等。

（3）結合實際應用。正如楊叔子先生所言：“學習是為了實踐，沒有實踐，沒有證實，就沒有科學”［6］。復變函數不僅已經滲入到數學的多個分支學科，且在熱力學、電學等理論物理方面也有很廣泛的應用。例如在流體力學中，可用復變函數建立平面場的數學模型：平面流速場的速度分布可用復函數V=V(z)=Vx(x,y)+iVy(x,y)來表示，其中 Vx(x,y)和 Vy(x,y)是速度分量，V(z)稱為復速度［6］。這些實際問題，讓學生在學習過程中不再感到抽象，并加強了課程之間的聯系。

（二）教學方法、手段的改進

在教學過程中，及時調整方法，因材施教，并將新的教學方式融合到教學過程中，做到教學相長。

（1）調整教學方法。目前，韶關學院選用的教材是《復變函數論》（高等教育出版社，鐘玉泉編第四版），該教材具備系統性、整體性，針對相關章節采取靈活多樣的教學方法。例如教材的第一章就接觸到復變函數的極限、連續的概念，這與數學分析相應的概念非常相似。采用平行遷移法得出其導數概念在形式上與數學分析中一元實函數導數概念相似，這使得學生更加容易地掌握；表面上學生發現兩個公式在字母上有不同，考慮到兩者的數域有差別，進一步運用探究法則可得出兩類函數相應概念之間的本質區別很大［7］，從而培養他們邏輯思維能力。

又比如在數學分析課程中，從幾何角度分析總結并歸納出定積分的定義，而在復變函數中，使用類比法可以直接從表達式入手得出復積分的定義［8］。

（2）根據學生的能力，采取因材施教。每章授課前預留一次課，采取小課堂講解基本概念及小組討論相關性質來展開學習活動。以函數的解析性為例，基礎差的同學講解概念，然后在教師的指導下，分組討論解析性與可微性的區別，再求解實際例題。大家輪流備課講解，使學生掌握解析的本質，加深了解課程內容，達到教學相長。

（3）恰當地使用現代化教學設備及移動電子設備，改進教學手段。制作精美的教學課件，使課程內容更生動活潑、表達更清晰，但作為數學課，在黑板上進行足夠的演算和推理是必要的，因此也需與傳統黑板教學相結合［9］；建立學習交流群，使用微信等軟件進行課外討論和視頻答疑；另外在教學過程中補充一些優秀的數學軟件，如Matlab、Maple和Mathematica等［2］，可以加快數值運算，如函數值的乘冪，可化繁為簡，而且可以運用數學軟件繪制復變函數的圖像，讓學生更加清楚直觀地理解新知識。

三、結語

隨著社會對應用型人才的需求增加，“復變函數”作為韶關學院數學與應用數學的基礎專業課，必須重視課程教學，在借助數學分析課程的前提下,掌握相應的基本概念和定理，促使學生能夠熟練、靈活地運用所學知識去解決實際問題。文中主要利用教學方法和課程內容的調整，對“復變函數”課程教學進行探討，從而培養學生邏輯思維能力，提升學生對專業的認同感，樹立學生的專業思想，使其確立適合自己的專業發展方向。

參考文獻：

［1］李志遠.對于復變函數課程教學改革的探析［J］.無線互聯科技,2015(1)：233.

［2］郭秀鳳.復變函數課程教學改革探討［J］.科技信息,2014(8)：21-22.

［3］尹景本，趙晨萍.復變函數課程的教學方法探討［J］.長沙大學學報,2013(2)：125-126.

［4］梁小林，張弘強.數學與應用數學特色專業之特色探討［J］.湖南工業大學學報,2010(1)：90-91.

［5］丁明玲.“復變函數”課程教學方法探討［J］.蘭州教育學院學報,2013（7）：118-119.

［6］周海平.加強復變函數論物理意義及應用的教學［J］.中國科技信息,2008（21)：272-273.

［7］徐洪焱.復變函數課程的教學思考［J］.科技信息,2012(29)：251.

［8］陳躍.從歷史的角度引入復積分［J］.高等數學研究,2007(1)：14-17.

［9］龔定冬,郭玉琴.關于復變函數與積分變換課堂教學的思考［J］.高等數學研究,2009(4)：93-95.