二項分布中概率的最大值問題

李中朝 李連國

摘 要 剖析概率中的一種特殊分布——二項分布的特點，理論結合實際，說明二項分布的這些特點，本文借助例題，進一步挖掘二項分布的內涵，讓讀者對二項分布更進一步了解。

關鍵詞 二項分布；概率；伯努利試驗

中圖分類號：F224.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）24-0229-01

二項分布是應用最廣泛的離散型隨機變量概率模型，也是高考常考的的重點內容之一。對其探究很有價值和意義。學生在學習此塊內容時，往往會提出這樣一個問題，服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大？實際上，高中數學教科書的選修2-3（人教A版）第58頁思考題就是該問題。問題如下：如果ξ～B（n，p），其中0

我查閱了和本書配套教學參考書，教學參考書沒有對此問題進行專門解釋。下面對該問題進行研究。

一般地，在n次獨立重復試驗中，用ξ表示事件 發生的次數，如果事件發生的概率是p，則不發生的概率q=1-p，N次獨立重復試驗中發生K次的概率

那么就說ξ服從二項分布，其中P稱為成功概率，記作ξ～B（n，p），其期望：Eξ=np

ξ的分布列如下：

容易驗證其各項概率之和恒為1，即 =

由此可見，二項分布的概率 恰好是二項式 的展開式中的第 項，這也正是二項分布這個名稱的由來。

二項分布是離散型分布，已知 ，x為不連續變量。下面用概率直方圖研究。

圖像有如下性質：

1.當 時，不論 大小，圖形都是對稱的。

例如， ， ，此時 。

=

2.當 時，概率直方圖圖形是偏斜的。當p<0.5時左偏，當p>0.5時右偏。如果 很大，即使 ，圖像也逐漸趨于對稱分布。隨著n變大其圖像逼近正態分布。……