理解矢量特點 掌握運算法則
——探析力的合成與分解學習策略

■浙江省義烏市第二中學　

一、一個法則

力的合成與分解的根本方法:矢量的運算法則——平行四邊形定則。平行四邊形定則就是以表示兩個共點力的有向線段為鄰邊作一平行四邊形,該兩鄰邊之間的對角線即表示兩個力的合力的大小和方向。兩個確定的分力,它們的合力是唯一確定的;一個合力(確定的對角線),在沒有其他條件限制時,可作的平行四邊形有無限多個,即有無限多種分解方法。

二、兩個規律

1.力的合成規律。

如圖1所示,當兩個共點力F1和F2間的夾角為θ時,利用數學知識可以求得合力F的大小和方向。合力F的大小為合力F與F1間的夾角α滿足tanα=

圖1

(1)當F1和F2同向,即夾角θ=0°時,它們的合力最大,其大小F=F1+F2,方向與兩個力的方向相同。

(2)當F1和F2反向,即夾角θ=180°時,它們的合力最小,其大小F=|F1-F2|,方向與F1和F2中較大的力同向。

(3)當F1和F2互相垂直,即夾角θ=90°時,它們合力的大小且合力F與F1間的夾角α滿足

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(4)當F1和F2的大小相等且它們間的夾角θ=120°時,這兩個力的合力大小與F1或F2大小相等,合力F與F1、F2間的夾角均為60°。

2.力的分解規律。

在力的分解中,把一個已知力分解為兩個分力,就相當于已知平行四邊形的對角線,此時能作出多少個平行四邊形,這個力就可以分解為多少對大小、方向不同的分力。因此,在力的分解中,必然涉及合力的大小和方向、兩個分力的大小和方向等六個因素,當涉及的因素越多,即限制的條件越多時,其分力的對數就越少。

(1)當力的分解涉及四個因素時:①已知合力的大小和方向、兩個分力的方向時,只有唯一解。②已知合力的大小和方向、一個分力的大小和方向時,只有唯一解。③已知合力的方向、一個分力的大小和方向,以及另一個分力的方向時,只有唯一解。④已知合力的大小和方向、兩個分力的大小。當F=F1+F2時,只有一組解;當F＜F1+F2時,有兩組解;當F＞F1+F2時,無解。⑤已知合力F的大小和方向、一個分力F1的方向及另一個分力F2的大小時,作出F1、F2和F的矢量三角形圖,如圖2所示,則由于合力F和分力F2的大小關系不同,存在四種情況。Ⅰ.當F2＜Fsinθ時,無 解;Ⅱ.當F2=Fsinθ時,有唯一解;Ⅲ.當Fsinθ＜F2＜F時,有兩個解;Ⅳ.當F＜F2時,有唯一解。

圖2

(2)當力的分解涉及三個因素時:①已知合力F的大小和方向、一個分力F1的方向時,有無數組解,但另一個分力F2的大小有范圍限制,即F2≥Fsinθ。②已知一個分力F1的大小和方向、合力F的方向時,有無數組解,但另一個分力的大小也有范圍限制,即F2≥Fsinθ。

(3)當力的分解涉及兩個因素時:已知合力的大小和方向,其他因素無限制時,將有無數組解。

在力的分解時,必須按照力作用的實際效果進行分解,從而確定兩個分力的方向,再根據平行四邊形定則作出力的分解圖,最后利用數學知識求出兩個分力。

例1如圖3所示為一曲柄壓榨機的示意圖,其中O為固定鉸鏈,桿OA與AB等長。在壓榨機鉸鏈A處作用的水平力為F,OB是鉛垂線。如果桿和活塞的重力忽略不計,在已知角α的情況下,求活塞作用在物體M上的壓力。

圖3

分析:力F的實際作用效果是對AB、AO兩桿沿桿方向產生擠壓作用,因此可將力F沿AB、AO方向分解為FAB、FAO,如圖4甲所示,由幾何關系得力FAB的實際作用效果是對活塞有水平向左和豎直向下的擠壓作用,因此可將力FAB沿水平方向和豎直方向分解為Fx和Fy,如圖4乙所示,由幾何關系得因為活塞的重力不計,所以活塞對物體M豎直向下的壓力大小

圖4

三、六種相互關系

合力與分力是一種等效替代關系,因此同學們必須深刻理解以下六個關系。

(1)效果相同。如果一個力產生的效果與某幾個力產生的效果相同,那么這個力就叫那幾個力的合力,而那幾個力就叫這個力的分力。合力的作用效果與分力共同作用的效果一定相同。

(2)等效替代。合力與分力之間是一種等效替代關系,且這種等效替代關系是可逆的,即有時可以用一個力(合力)來代替某幾個力(分力),而有時也可以用幾個力(分力)來代替某一個力(合力),代替前后的作用效果相同。

(3)遵守法則。求幾個力的合力的過程叫力的合成,求一個力的分力的過程叫力的分解。力的合成與分解遵循力的平行四邊形定則。當求兩個以上的力的合力時,可以先求出任意兩個力的合力,再求出這個合力與第三個力的合力,依此類推,直至求出所有的力的合力為止。

(4)大小關系。合力可能大于任何一個分力,也可能小于任何一個分力,也可能介于兩個分力之間。當兩個分力F1、F2的夾角θ在0°到180°之間變化時,其合力F的大小變化范圍是|F1-F2|≤F≤F1+F2。

(5)相同性質。一個分力和產生這個分力的合力是同性質的力,且產生于同一個施力物體。

(6)存在關系。在進行物體的受力分析時,合力和分力不能并存。

例2 在醫院里常用如圖5所示裝置對小腿受傷的病人進行牽引治療,不計滑輪組的摩擦和繩子的質量,繩子下端所掛重物的質量m=5kg,ab段繩子與水平方向間的夾角θ=30°,g取10N/kg。問:

圖5

(1)病人的腳所受水平方向的牽引力是多大?

(2)病人的腳和腿所受豎直向上的牽引力共是多大?

分析:(1)因為繩子中各處與其他物體沒有結點,所以繩子中各處的張力都等于所懸掛的重物的重力,即F=mg=50N。將ab段繩子的拉力沿水平方向和豎直方向分解,如圖6所示。在水平方向上有Fx=Fcos30°=43.3N,在豎直方向上有Fy=Fsinθ=25N,所以病人的腳所受水平方向的牽引力F牽=F+Fx=93.3N。

圖6

(2)病人的腳和腿所受豎直向上的牽引力F牽'=F+Fy=75N。

點評:力的合成與分解知識與實際生活中的許多問題緊密相連,求解此類問題時,首先要明確研究對象的受力情況,再根據實際情況進行力的合成與分解。

跟蹤訓練

1.如圖7所示,用一根長為l的細繩一端固定在O點,另一端懸掛質量為m的小球A,為使細繩與豎直方向間的夾角θ=30°且繃緊,小球A處于靜止,求對小球施加的最小的力。

圖7

2.如圖8所示,放置于水平地面的三腳架上固定著一質量為m的照相機。三腳架的三根輕質支架等長,與豎直方向均成30°角,求每根支架中承受的壓力大小。

圖8

參考答案:1