從高考解答題中找原題的味道
——以2017 年高考天津卷第12 題為例

■安徽省來安中學　

2017年高考天津卷第12題綜合了電容器、導體棒切割磁感線、動量定理等知識,是一道綜合性很強的試題,但實質上該題是由幾道簡單的經典試題組合而來的。同學們只要熟練掌握原始物理模型,重視運用基礎知識,就會在遇到大多數綜合性解答題時產生似曾相識的感覺,進而品出原題的味道,這樣解答起來就沒有想象中那么高的難度了。

一、經典原題

例1 如圖1所示,金屬棒ab的質量m=5g,放置在寬L=1m的光滑平行金屬導軌邊緣處,兩金屬導軌處于水平面內,導軌所在處有豎直向上的勻強磁場,磁感應強度B=0.5T,電容器的電容C=200μF,電源電動勢E=16V,導軌所在平面距地面的高度h=0.8m,取g=10m/s2。在開關S與1接通并穩定后,再把開關S扳到2接通,則金屬棒被拋到水平位移s=0.064m的地面上。試求電容器兩極板的剩余電荷量。

圖1

解析:金屬棒被拋出后,在水平方向上有,在豎直方向上有金屬棒被拋出的瞬間,由動量定理得BILΔt=mv,又有q=IΔt,電容器儲存的電荷量Q=CE,所以金屬棒被拋出后電容器兩極板剩余的電荷量為

結論1:求變力的沖量時,可以應用動量定理求出該變力作用下物體動量的變化量,用動量的變化量等效代替變力的沖量。若導體棒只受安培力或所受安培力遠大于其他外力,則由動量定理得BILΔt=mv2-mv1,又有q=IΔt,可得qBL=mv2-mv1,因此利用動量定理可以求得安培力作用下通過導體棒某個截面的電荷量。

例2 如圖2所示,長直平行導軌PQ、MN光滑,相距l=0.5m,處在同一水平面內,磁感應強度B=0.8T的勻強磁場豎直向下穿過導軌所在平面。橫跨在兩平行導軌上的直導線ab的質量m=0.1kg、電阻R=0.8Ω,導軌電阻不計。通過開關S將電動勢E=1.5V、內阻r=0.2Ω的電池接在導軌M、P兩端,試通過計算分析導線ab的加速度的最大值和速度的最大值。

圖2

解析:在開關S閉合的瞬間,導線ab的速度為0,沒有感應電流產生,電池產生的由a到b的電流,導線ab受到的安培力水平向右,此時導線ab的瞬時加速度最大,且最大加速度6m/s2。導線ab在安培力作用下向右運動切割磁感線,產生感應電動勢,根據右手定則可知,感應電動勢產生的電流方向與電池電動勢E產生的電流方向相反,回路中的電流減小,導線ab受到的水平向右的安培力減小,導線ab做加速度逐漸減小的加速運動。當感應電動勢E'與電池電動勢E相等時,導線ab的速度達到最大值,回路中的電流為0,此后導線ab做勻速運動。根據上述分析得E-Blvmax=0,解得

結論2:在勻強磁場中當導體棒不受其他外力時,導體棒外接直流電源,則做加速度逐漸減小的加速運動,最大加速度為開關接通瞬間的加速度,終極狀態為導體棒做勻速運動,即由電磁感應產生的電動勢和原電動勢的大小相等,方向相反,回路中的電流為0,導體棒受到的安培力為0。

二、2017年高考天津卷第12題

題目電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度,其原理可用來研制新武器和航天運載器。電磁軌道炮的示意圖如圖3所示,直流電源電動勢為E,電容器的電容為C。兩根固定于水平面內的光滑平行金屬導軌間距為l,電阻不計。炮彈可視為一質量為m、電阻為R的金屬棒MN,垂直放在兩導軌間處于靜止狀態,并與導軌良好接觸。先將開關S接1,使電容器完全充電,再將開關S接至2,導軌間存在垂直于導軌平面、磁感應強度大小為B的勻強磁場(圖中未畫出),炮彈開始向右加速運動。當炮彈上的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時,回路中的電流為零,炮彈達到最大速度,之后離開導軌。求:

圖3

(1)磁場的方向。

(2)炮彈剛開始運動時加速度a的大小。

(3)炮彈離開導軌后電容器上剩余的電荷量Q。

解析:(1)炮彈開始向右加速運動,電流方向從M到N,根據左手定則可知,磁場方向垂直于導軌平面向下。

(2)電容器完全充電后,兩極板間的電壓為E,當開關S接2時,電容器放電。設電容器剛放電時流經炮彈的電流為I,則設炮彈受到的安培力為F,則F=BIl。由牛頓第二定律得F=ma。聯立以上各式解得

(3)當電容器充電完畢時,設電容器儲存的電荷量為Q0,則Q0=CE。開關S接2后,炮彈開始向右加速運動,當其速度達到最大值vmax時,設產生的感應電動勢為E',則E'=Blvmax。依題意得設在此過程中流經炮彈的平均電流為,炮彈受到的平均安培 力 為,則由動量定理得Δt=mvmax-0,又有Δt=Q0-Q。聯立以上各式解得

點評:本題的模型和例1的模型非常相似,即先給電容器充電,后讓電容器通過導體棒放電,導體棒由于安培力的作用而運動,電容器放出的電荷量通過動量定理求出。所不同的是例1中導體棒的末速度是通過平拋運動規律求得的,本題中導體棒的末速度是通過導體棒在勻強磁場中的運動規律求出的。從例2可以看出,在勻強磁場中當導體棒不受其他外力時,導體棒的最大加速度為開關接通瞬間的加速度,終極狀態為由電磁感應產生的電動勢大小與外接電源的電動勢大小相同,本題中導體棒的終極狀態為由電磁感應產生的電動勢與放電后電容器兩端的電壓相等。

2017年高考天津卷第12題,看似一道新情景試題,實際上可以轉化為上述兩個重要結論的應用。本題和兩道經典習題相比,創設新穎,構思巧妙,導體棒的終極速度通過兩個電動勢大小相等聯系了電容器上的剩余電荷量,導體棒的終極速度通過動量定理聯系了電容器放出的電荷量,從而根據電荷量守恒建立方程求解。本題著重考查的是同學們提取、加工信息,并利用相關信息進行轉換的能力。