基于極小值原理的增程式客車能量管理問題規律分析

杜光乾,謝海明,盧紫旺,黃　勇

(清華大學 汽車安全與節能國家重點實驗室， 北京　100084)

增程式電動汽車(extended-range electric vehicle,E-REV)具有可在線延長行駛里程、使用方便、維護成本低等優點，因而成為從傳統汽車到純電動汽車的理想過渡車型[1-3]。為了提高整車燃油經濟性，利用能量管理策略分配輔助動力單元(auxiliary power unit,APU)和動力電池的輸出功率是一種可行的方案。現有的能量管理策略可以分為基于規則和基于優化2類[4-6]：前者無需已知全工況信息且可實現在線應用，但優化效果有限，主要有以電量消耗-電量維持(charge depleting-charge sustaining,CD-CS)策略為代表的基于確定性規則的策略和各種基于模糊規則的策略[7-9]；后者需要已知全工況信息，但可離線求得全局最優解，主要有基于動態規劃(dynamic programming,DP)和極小值原理(Pontryagin’s minimum principle,PMP)的策略[10-12]。PMP是最可能實現在線應用的最優化方法之一，但需要解決協態變量難以在線確定的問題。目前應用于傳統混合動力汽車(hybrid electric vehicle,HEV)的等效燃油消耗最小策略(equivalent consumption minimization strategy,ECMS)也可通過PMP推導得到，但在將其應用于E-REV時，同樣需要解決等效因子的在線確定問題[13-14]。Onori等[14]研究發現，由于HEV的SOC變化范圍窄，協態變量可視為常數，為此設計了基于PMP的在線能量管理策略。Zhang等[15]設計了針對HEV的協態變量在線更新方法。但在利用PMP求解E-REV的能量管理問題時，協態變量的變化范圍更大，不能視為常數，且初值需要利用全工況信息多次迭代得到，因而難以在線應用[14，16-18]。為解決這一難題，需要分析協態變量的規律，并運用該規律設計在線策略以獲得全局最優解。

1　動力系統建模

1.1　動力系統構型

本文所研究的增程式城市客車的動力系統結構簡圖如圖1所示，其中APU由發動機和發電機組成，由APU與動力電池組共同為驅動電機提供功率。

1.2　APU油耗模型

由于本文所研究的增程式城市客車的發動機曲軸與車輪之間無機械連接，因此APU的工作點不受車速的影響，可選取一條高燃油經濟性的目標工作曲線，使得APU長期工作在該工作曲線上[19-21]。綜合ICE的萬有特性圖和ISG的效率MAP圖，計算得到APU的油耗MAP圖如圖2所示，其縱軸為APU用于發電的扭矩，從而得到APU輸出功率的等功率曲線和各點的燃油消耗率。所選取的目標工作曲線為圖2中帶△標記的實線，其中△處的工作點的燃油消耗率由實驗標定。因此，當APU工作在該曲線上時有

(1)

1.3　動力電池模型

將動力電池組等效為由電壓源和電池內阻串聯組成的電路[22-23]，電路中電池的電流和輸出功率的關系為

(2)

其中：Ibat(t)為電池電流(A)；Pbat(t)為電池輸出功率(W)；VOC(t)=VOC(SOC(t))為電池的開路電壓[24](V)；R0(t)為電池內阻(Ω)，可表示為

(3)

其中：R0,dis(SOC(t))為電池的放電內阻，R0,char(SOC(t))為充電內阻。根據SOC的定義可得其變化率為

(4)

其中Qnom是電池的標稱容量(A·h)。

2　能量優化問題模型

本文選取動力電池組的SOC作為狀態變量，動力電池的輸出功率Pbat作為控制變量。研究中動力電池的起始和終了狀態的SOC給定，因此以最小化APU的燃油消耗為目標函數：

(5)

狀態方程為

(6)

該優化問題存在的約束包括：

SOCmin≤SOC(t)≤SOCmax

(7)

Pbat,min(t)≤Pbat(t)≤Pbat,max(t)

(8)

其中：SOCmin和 SOCmax分別為狀態量SOC的最小值和最大值；Pbat,min(t)和Pbat,max(t) 為控制量Pbat(t)在任意時刻的最小值和最大值，二者由動力電池的充放電功率極限以及功率平衡方程

Preq(t)=1 000PAPU(t)+Pbat(t)

(9)

共同確定，其中Preq(t)為滿足動力性需求的驅動電機總線端的輸入功率(W)。

在利用極小值原理求解上述最優化控制問題時，定義了Hamilton函數：

(10)

其中λ(t)為時變的協態變量。最優控制軌跡滿足的必要條件有：

(11)

(12)

SOC*(0)=SOC0

(13)

SOC*(tf)=SOCmin

(14)

(15)

其中*表示最優解。

3　協態變量的規律分析

將式(10)(12)代入式(11)中，依據上述假設有：

(16)

由式(2)(3)知，當t?T-U時，式(16)中偏導數?Ibat/?VOC和?Ibat/?R0存在，二者分別為：

(17)

(18)

(19)

當t?T-U時，式(12)不為0。則可求式(19)與式(12)的比值為：

(20)

為求解該微分方程，需要進一步化簡，基于假設有

(21)

同理有

(22)

將式(2)(21)(22)代入式(20)中得到：

(23)

求解該微分方程時，將等號右側括號中的2項湊成2個不定積分的差，得到：

(24)

(25)

其中ζ為截斷誤差：

(26)

(27)

其中C為常數。

4　仿真結果分析

4.1　誤差分析

仿真所選用的動力電池的充放電內阻和開路電壓與SOC的關系如圖3和圖4所示，所研究的能量管理問題中SOCmin=0.25，SOCmax=0.95。

(28)

研究上式等號左側項和右側項在時間域內的取值，并將二者初始時刻平移至原點和-0.1處，結果如圖5所示。

圖3　動力電池充放電內阻

(29)

圖5　在CCBC下，式(28)中2項的比較

4.2　仿真驗證

(30)

圖7　2種策略在不同工況下的SOC軌跡[16]

5　結束語

在利用極小值原理求解增程式城市客車能量管理問題時，通過協態方程和狀態方程推導得到協態變量與動力電池的開路電壓的比值可近似為常數的規律。這一規律解決了協態變量的在線確定問題，可利用其設計在線能量管理策略。在將該策略應用于不同實際工況時，發現該策略的性能僅低于全局最優水平的0.5%，因此該策略是一種可在線應用的最優能量管理策略。

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